Spirale d'or de Fibonacci
La spirale d'or de Fibonacci : tracer une spirale d'or à partir de carrés
Vous avez peut-être déjà vu un motif de ce genre : plusieurs carrés disposés du plus petit au plus grand, dont les longueurs de côté semblent suivre une suite précise : 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13...
Ensuite, lorsque l'on trace des arcs de cercle (des quarts de cercle) à l'intérieur de ces carrés, il se produit quelque chose de magique : ce qui n'était au départ que de simples carrés s'assemble pour former une élégante spirale.
C'est la célèbre spirale d'or de Fibonacci.
Tout commence par une suite très simple
La suite de Fibonacci est sans doute l'une des suites les plus célèbres des mathématiques, et sa règle est très simple : à partir du troisième terme, chaque nombre est la somme des deux précédents.
Ainsi : 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34...
Vous remarquerez que :
1 + 1 = 2
1 + 2 = 3
2 + 3 = 5
3 + 5 = 8
5 + 8 = 13
...
Pas de formules complexes. Il suffit d'additionner les deux nombres précédents.
Les nombres se transforment en carrés
Faisons maintenant quelque chose de très intéressant : considérons ces nombres comme les longueurs des côtés de carrés.
Prenons donc un carré de côté 1 et plaçons un autre carré de côté 1 à côté de lui.
Ensuite, plaçons un carré de côté 2.
Ajoutons ensuite un carré de côté 3, suivi de 5, 8, 13, et ainsi de suite...
Nous obtenons ainsi une série de carrés dont la taille ne cesse d'augmenter.
Une spirale apparaît alors
À présent, traçons un quart de cercle à l'intérieur de chaque carré, en reliant les arcs bout à bout.
Le premier segment, le deuxième, le troisième, le quatrième...
Peu à peu, une spirale se dessine. Partant du centre, elle s'étend vers l'extérieur, boucle après boucle. C'est ce que l'on appelle communément la spirale de Fibonacci.
Pourquoi cela semble-t-il si naturel ?
Parce que la suite de Fibonacci possède une propriété très particulière.
À mesure que les nombres augmentent, le rapport entre deux nombres consécutifs de la suite de Fibonacci se rapproche de plus en plus de 1,618... Ce nombre est le célèbre Nombre d'or.
Le Nombre d'or vaut environ : 1,618
13 ÷ 8 ≈ 1,625
21 ÷ 13 ≈ 1,615
34 ÷ 21 ≈ 1,619
...
À mesure que les nombres augmentent, le rapport se rapproche de plus en plus de 1,618... ce qui correspond au Nombre d'or.
Qu'est-ce que le Nombre d'or exactement ?
Pas besoin de mémoriser une formule.
Vous pouvez l'imaginer ainsi : un segment est divisé en deux parties — une partie plus longue et une partie plus courte.
Si le rapport entre la longueur totale du segment et la partie la plus longue est exactement égal au rapport entre la partie la plus longue et la partie la plus courte, alors ce rapport est le Nombre d'or.
Soit : 1,618...
Quel est le lien entre la suite de Fibonacci et le nombre d'or ?
C'est l'un des aspects les plus fascinants de cette histoire.
À première vue, la suite de Fibonacci ressemble à un simple jeu d'addition : on additionne les deux premiers nombres pour obtenir le suivant.
Cependant, à mesure que les nombres augmentent, le rapport entre deux nombres consécutifs se stabilise progressivement pour se rapprocher toujours plus de 1,618...
Ainsi, une simple règle d'addition donne finalement naissance à un célèbre rapport géométrique.
C'est aussi la raison pour laquelle la suite de Fibonacci et le nombre d'or sont si souvent associés.
Mais attention...
Il y a ici un détail très important.
La forme que l'on voit habituellement — composée de « carrés de Fibonacci » et d'« arcs de quart de cercle » — n'est pas, à proprement parler, une véritable spirale d'or.
Son nom exact est la spirale de Fibonacci ; il s'agit d'une spirale construite à partir de la suite de Fibonacci.
Au sens strict, la spirale d'or est un type de spirale logarithmique. Les deux sont très similaires, c'est pourquoi on les évoque souvent ensemble dans un contexte visuel.
Pourquoi se ressemblent-elles presque à s'y méprendre ?
Parce que les rapports au sein de la suite de Fibonacci se rapprochent de plus en plus du nombre d'or.
À mesure que les carrés grandissent, la spirale construite à partir de la suite de Fibonacci ressemble de plus en plus à la forme de spirale associée au nombre d'or.
En d'autres termes : la spirale de Fibonacci est une approximation très intuitive et facile à construire de la spirale d'or.
C'est pourquoi les termes spirale de Fibonacci et spirale d'or sont souvent mentionnés ensemble.
On peut voir cela comme un processus de « convergence progressive ».
Une spirale construite uniquement avec les nombres 1, 1, 2 et 3 paraît quelque peu rudimentaire. L'ajout de 5 et 8 rend la forme plus naturelle. L'inclusion de 13, 21 et 34 rend la spirale plus fluide. Poursuivre avec 55, 89, 144... la rapproche encore davantage de la forme de la spirale définie par le nombre d'or.
Des nombres aux carrés, puis à la spirale
L'ensemble du processus est en réalité assez simple.
On peut le résumer ainsi : Suite de Fibonacci → Carrés → Arcs de quart de cercle → Assemblage → Spirale → Nombre d'or
C'est l'aspect le plus fascinant de la spirale d'or de Fibonacci : elle relie nombres, géométrie, proportions et courbes.
Pourquoi cela évoque-t-il si facilement des images de la nature ?
En voyant une spirale, beaucoup de gens pensent immédiatement aux coquillages, aux plantes, aux fleurs, aux ouragans ou aux galaxies. En effet, une grande variété de structures en spirale peut être observée dans ces phénomènes naturels.
Cependant, un point crucial doit être souligné : les spirales présentes dans la nature ne suivent pas nécessairement à la lettre la spirale d'or ; le monde réel est souvent bien plus complexe qu'une simple formule mathématique.
Par conséquent, il ne faut pas affirmer simplement que « toutes les spirales de la nature sont des spirales d'or » — c'est une idée reçue très répandue. Il est plus exact de dire : le nombre d'or et les spirales apparaissent fréquemment en mathématiques et dans la nature, et la suite de Fibonacci se manifeste souvent dans les schémas de croissance et la disposition des plantes.
Quel est le lien avec la phyllotaxie de Fibonacci ?
Si vous avez déjà exploré la phyllotaxie de Fibonacci, vous avez peut-être remarqué que le nom « Fibonacci » apparaît dans les deux contextes. Bien que tous deux soient effectivement liés à la suite de Fibonacci, ils illustrent des concepts totalement différents.
La phyllotaxie de Fibonacci étudie la manière dont les feuilles, les graines ou d'autres structures végétales sont disposées ; ici, on s'intéresse à des points, des feuilles ou des capitules floraux.
La spirale d'or de Fibonacci examine comment la suite de Fibonacci permet de construire une forme géométrique en spirale ; ici, on s'intéresse à des carrés, des arcs de cercle et des spirales.
En résumé, on peut voir les choses ainsi : l'un étudie « la disposition des éléments », tandis que l'autre étudie « la formation d'une spirale ». Tous deux découlent de la suite de Fibonacci mais aboutissent à des univers visuels distincts.
Pourquoi une séquence aussi simple est-elle si belle ?
C'est peut-être l'aspect le plus fascinant de la spirale d'or de Fibonacci.
Tout commence par une simple suite de nombres : 1, 1, 2, 3, 5, 8... obtenus en additionnant successivement les nombres entre eux.
Ces nombres se transforment ensuite en carrés, puis ces carrés en arcs ; une fois reliés, ces arcs forment une spirale.
À mesure que les nombres augmentent, le rapport entre deux nombres consécutifs se rapproche de plus en plus du nombre d'or.
Ainsi, une simple suite numérique finit par relier nombres, rapports, géométrie et spirales, illustrant toute la beauté fascinante des mathématiques.
La simplicité révèle le motif
Ce qui rend la spirale d'or de Fibonacci si intéressante, ce n'est pas sa complexité ; bien au contraire, elle est remarquablement simple.
Il suffit d'un crayon et d'une feuille de papier pour en esquisser la forme générale ; nul besoin de programmes informatiques.
Commencez par noter la suite 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13... ; tracez ensuite les carrés et les arcs ; une magnifique spirale finit par apparaître.
Des nombres aux spirales
Si l'on observe la suite — 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13... — les nombres eux-mêmes semblent tout à fait ordinaires.
Cependant, lorsqu'ils sont transposés dans le domaine de la géométrie, ils donnent naissance à des carrés ; ces carrés génèrent des arcs qui finissent par former une spirale — et, dissimulé derrière cette spirale, se trouve le nombre d'or.
C'est là l'aspect le plus fascinant de la spirale d'or de Fibonacci : une simple suite numérique qui se prolonge naturellement dans le monde de la géométrie.
Poursuivez votre exploration du monde des mathématiques
La spirale d'or de Fibonacci constitue une porte d'entrée captivante reliant les nombres à la géométrie.
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Toutes ces créations révèlent une vérité fascinante : les mathématiques ne se résument pas aux nombres ; les nombres se transforment en formes, les formes évoluent en motifs, et ces motifs finissent par se manifester sous la forme de la beauté que nous avons sous les yeux.
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