分岔图：一个数字的变化，如何让系统突然变得混乱？
这些参数怎么调？
这里总共包含了这几种类型的图像：经典逻辑斯蒂映射、帐篷映射、正弦映射、高斯映射、三次映射、间歇性映射和二维埃农映射，你可以点击"下一个"按钮来切换显示这几种图像。
"左边界"和"有边界"是画图的横轴的左右的范围，在这个范围之外的图形，我们就直接跳过了，不画出来。
其他参数不懂也没关系，点击"下一个"按钮，直接欣赏我们已经调好的一些图形就可以了。
为了防止调了半天结果感觉没效果的情况，特别说明一下，"第二状态"和"收缩"只针对二维埃农映射这个类型有效，"幂次"只针对间歇性这个类型有效，"偏移"只针对高斯映射这个类型有效。
不要被参数吓到
我们从头来，先忘掉参数和数学规则。
首先，我们先知道有这么一种情况存在，即，有时候，一个系统的变化并不是一点一点发生的。
你慢慢改变一个参数，开始的时候，一切都很平静，系统只有一个稳定的状态。
再改变一点，它突然变成了两个状态。
继续改变，两个变成四个，然后八个……最后，系统甚至不再表现出明显的规律，看起来就像从秩序突然走向了混沌。
如果把这些变化画在一张图上，就会得到一种非常特别的数学图形：分岔图。
先想象一个很简单的系统
想象一个非常简单的系统，它有一个参数，这个参数可以慢慢增大。比如从：1 → 2 → 3 → 4 → 5。每改变一点，系统都会按照自己的规则运行一段时间。然后我们记录它最后稳定下来的状态。
一开始：参数 = 1，系统只有一个稳定状态。参数增加一点，还是一个状态。再增加一点，突然出现了两个稳定状态。继续增加，两个变成四个。再继续增加，系统变得越来越复杂。
这就是“分岔”
为什么叫“分岔”？因为图上的变化很像一条道路不断分开。
原本只有一条路，走到某个位置之后，突然分成两条。继续向前，两条又可能分别分成两条。于是，一条 → 两条 → 四条 → 八条……这就是“分岔”最直观的含义。
数学家用 分岔 来描述系统随着参数变化，稳定状态发生这种突然改变的现象。
把所有变化画下来
现在，我们把刚才的过程画出来。
横轴表示参数，从左到右，参数越来越大。
纵轴表示系统最终达到的状态数量。
于是，每改变一次参数，我们就在图上记录系统最终的位置。
参数比较小时，可能只有一个点，于是图上只有一条线。参数继续增加，系统出现两个稳定状态，图上就出现两条线。再继续增加，变成四条，然后八条。
当所有这些变化被放在同一张图里时，一棵非常漂亮的“数学树”就出现了，这就是分岔图。
为什么最后看起来这么乱？
这是分岔图最有意思的地方。
随着参数继续变化，系统会经历越来越多次分裂。一个状态变成两个，两个变成四个，四个变成八个……
分裂的速度越来越快，最后，大量不同的状态挤在一起，从远处看，这一部分几乎像一片黑色的云，看起来毫无规律。
但如果仔细观察，你会发现其中仍然隐藏着许多结构，这就是 混沌 出现的地方。
混沌并不等于随机
看到这里，你可能会觉得：“既然最后这么乱，是不是电脑开始随机生成了？”
并不是，这是分岔图非常重要的一点：混沌不等于随机。
系统依然遵循着完全确定的规则：相同的参数，相同的初始条件，仍然会得到相同的结果。
只是随着系统不断演化，它的行为变得极其复杂，以至于很难从整体上预测下一步会发生什么。所以：看起来没有规律，并不意味着真的没有规律。
分岔图为什么这么漂亮？
如果只看公式，它其实非常简单。
但当我们把大量计算结果画出来时，一个复杂的结构就出现了：树枝状的分裂，密集的混沌区域，其中还夹杂着一些突然重新出现的稳定结构。
放大其中一部分，你甚至还能发现新的分岔结构，这让分岔图看起来有一种特殊的层次感。
它不像 曼德博集合 那样强调无限缩放，也不像 克利福德吸引子 那样强调一组参数创造出的艺术图案。
它展示的是：一个系统如何随着参数变化，一步一步从稳定走向复杂。
分岔图最有趣的地方，是你可以亲眼看到，秩序是怎样一步一步变成混沌的。
从左边开始，一条简单的分支。然后，两条，四条，八条，越来越复杂，最终进入混沌区域。
但故事还没有结束。仔细观察混沌区域，你可能还会发现一些重新出现的稳定结构。混沌之中，依然隐藏着秩序。
一个简单的参数，改变整个世界
分岔图中有一个非常重要的参数，改变它，就像改变整个系统的环境。
参数比较小时，系统最终会稳定在一个状态。稍微增加一点，系统可能开始在两个状态之间交替。再增加，变成四个，系统在四个状态之间交替。然后八个。继续增加，最终进入混沌。
这就是分岔图真正记录的东西：不是一条曲线，而是一个系统在不同参数下，可能表现出的所有状态。
分岔，其实到处都可能发生
虽然我们在这里看到的是数学模型，但类似的现象在现实世界中也会出现。
一个系统的某个条件发生变化，当它越过某个临界点之后，系统可能突然进入一种完全不同的状态。
例如：一个生态系统，一个物理系统，一个化学反应，甚至某些工程系统，它们都可能出现类似的“临界变化”。
分岔理论，就是研究这些变化的重要数学工具之一。
一个经典的例子：逻辑斯蒂映射
分岔图最经典的例子之一，是一个叫做 逻辑斯蒂映射 的简单数学模型。也就是我们上面图中的经典的混沌之路这个图形。
它最初并不是为了创造漂亮的图案，它只是用一个非常简单的公式，描述一个系统如何随着时间不断变化。
例如，可以把它想象成一个种群，一开始，有一些动物，下一年，它们繁殖，但是食物和空间有限，所以数量不会无限增长。
于是，今年的数量，影响明年的数量；明年的数量，又影响后年的数量。如此不断重复。
数学中的“混乱”，也有自己的规律
分岔图最迷人的地方，并不是它本身长得像一棵树，而是，这棵“树”，记录了一个系统发生变化的整个过程。
横轴上的每一点，代表一种参数，纵轴上的每一个点，代表系统可能达到的状态。
所以，当你从左向右观察分岔图时，其实是在观看一个系统的“成长过程”：从稳定，到分裂，再到更加复杂，最终进入混沌。
我们通常把“混乱”和“规律”看成相反的东西，但分岔图告诉我们：它们并不一定是完全对立的。
一个非常简单的规则，可以产生非常复杂的行为。而这些复杂行为，依然可以被数学记录下来。
一棵看似混乱的树状图案，其实记录的是一个系统从秩序走向混沌的过程。这也是分岔图最迷人的地方。
继续探索数学世界
分岔图展示的是系统如何随着参数变化而改变。
如果你喜欢观察数学规则如何创造复杂结构，还可以继续探索 克利福德吸引子、相泽吸引子、朱利亚集合、曼德博集合 等数学作品。
有的图形展示空间中的运动，有的图形展示无限的结构。而分岔图展示的，则是：一个简单的系统，如何一步一步走向复杂。从稳定到分裂，从分裂到混沌，而在看似混乱的背后，依然隐藏着数学的秩序。
你还可以继续欣赏更多奇妙的数学图形，或者查看维基百科上更多关于分叉理论的介绍