万花尺（内摆线）
万花尺：当一个小圆在大圆里面滚动
你可能见过万花尺：几个齿轮，一支笔，不断旋转，最后，纸上会出现一幅漂亮的花纹。
它看起来像是复杂的艺术设计，但实际上，背后的原理非常简单：让一个小圆沿着大圆的内侧滚动，再记录一个点的运动轨迹。这种运动产生的一类曲线，就是 内摆旋轮线。而经典的 万花尺，正是这种数学思想最直观、也最有趣的应用之一。
先想象两个齿轮
想象一个大圆。现在把一个小圆放到它的内部，小圆沿着大圆的内壁滚动，同时，小圆自己也在旋转。
如果我们在小圆上放一支笔，笔尖就会跟着小圆一起运动。但它并不会画出一个简单的圆，因为它同时受到两个旋转运动的影响。
最终，一条复杂的曲线开始出现，继续滚动，曲线不断重复，最后，一幅完整的图案诞生了。
这就是 万花尺 最核心的数学思想。
如果笔尖好位于小圆的圆周上，那么就得到一种特殊情况：内摆线。
改变笔尖的位置，会发生什么？
这是 万花尺 最好玩的地方之一。
想象小圆已经在大圆里面滚动，现在我们不改变任何齿轮，只移动笔尖，一点点，图案就会发生变化。
笔尖靠近圆心，曲线可能更加柔和。笔尖靠近边缘，图案可能出现更加明显的花瓣和尖角。再改变齿轮大小，整个图案又会发生新的变化。
为什么不同的齿轮会画出不同的花纹？
这其实是两个旋转运动共同作用的结果。
小圆在大圆内部移动，同时，小圆自身旋转，笔尖因此拥有两个不同的运动，它们不断叠加。
于是，第一次转动，第二次转动，第三次转动，……，笔尖走过的路线逐渐覆盖整个区域。
最后，我们看到的不是一条简单的线，而是一幅复杂的图案。
这里最重要的一个因素是 两个圆的大小比例。
你可以把它想象成两个齿轮，如果大齿轮和小齿轮之间的比例不同，它们的旋转关系也会不同，于是笔尖每一圈的位置都会发生变化。
最终，不同的比例 → 不同的旋转周期 → 不同的轨迹 → 不同的图案。
所以，一个看起来非常复杂的 万花尺 图案，实际上可能只是由几个简单数字决定的。
为什么有些万花尺图案特别对称？
因为齿轮的运动具有非常强的周期性。
当小圆转了一定数量的圈之后，它会重新回到之前的相对位置，笔尖也会回到原来的轨迹。于是新的曲线会与之前的曲线重合。
继续绘制。越来越多的曲线叠加在一起。最终：一个完整而高度对称的图案出现了。
为什么有些图案有很多“花瓣”？
这是万花尺最容易让人着迷的视觉特征。
有些图案只有几个大花瓣，有些却有几十个细密的花瓣。
它们并不是随机生成的，花瓣数量与圆之间的尺寸比例、笔尖位置以及旋转关系密切相关。
所以你只需要改变一个参数，花瓣数量可能就会发生变化。这也是为什么同一个 万花尺 工具，可以生成如此多不同的图案。
这里的 万花尺 和传统的万花尺有什么关系？
传统的万花尺通常由塑料齿轮组成。你把一个齿轮放入另一个齿轮，然后用笔在齿轮上的孔中绘图。当齿轮运动时，笔尖就会留下轨迹。
而这里的 万花尺，则是用数学计算来模拟这种运动，你不需要真正的齿轮，也不需要纸和笔，只需要改变几个参数，计算机就可以直接计算出并且画出来笔尖会走过的路线。
所以，传统万花尺是一种机械绘图工具，而数学中的 万花尺，则可以看作 用数学模拟齿轮运动产生的绘图过程。
万花尺 与 外摆线 有什么不同？
如果你同时探索 万花尺 和 外摆线 这两个页面，很容易发现它们看起来有点像。
因为它们确实都来自 圆的滚动 + 圆的旋转。
但最重要的区别是：外摆线，小圆在大圆外侧滚动，轨迹向外展开。
而万花尺，小圆在大圆内侧滚动，轨迹被限制在大圆内部。
所以你可以把它们想象成两个完全相反的世界：
外面滚动 → 外摆线
里面滚动 → 万花尺
自己设计一个 万花尺
万花尺最迷人的地方，是它把数学变成了一种非常直观的体验。
你不需要先学习复杂的公式，只需要：改变齿轮，移动笔尖，开始旋转，然后观察图案慢慢出现。
它会让你看到：数学，不是只有数字和公式。有时候，数学也可以是一条曲线，一朵花，一组对称的花纹，甚至是一件看起来像艺术品的图案。
现在，你可以尝试改变几个参数：让小圆变大，或者变小；移动笔尖；改变齿轮比例。然后看看图案如何变化。
你可能会发现一个非常有趣的现象：最漂亮的图案，不一定来自最复杂的参数。有时候，只需要一个非常简单的比例。就可以得到令人惊讶的结果。
继续探索圆周运动的世界
万花尺展示的是小圆在大圆内部滚动时产生的美丽轨迹，它让我们看到：简单的旋转，可以创造无限的花纹。
如果你想看看小圆在大圆外侧滚动会发生什么，可以继续探索外摆线。两者使用的数学思想非常相似，但只需要改变一个关键条件：圆是在里面滚动，还是在外面滚动？最终得到的曲线，却会呈现完全不同的面貌：从齿轮到曲线，从运动到图案。
你还可以继续欣赏更多奇妙的数学图形，或者查看维基百科上更多关于内摆线的介绍