沃罗诺伊图

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沃罗诺伊图：把世界分给离你最近的那个点

假设一座城市里有几个消防站，城市里每一个人都有一个问题：如果发生火灾，我应该去哪一个消防站？最简单的答案当然是：去离自己最近的那个消防站。

于是，我们可以把整个城市划分成几个区域：这个区域里的人，离消防站 A 最近；那个区域里的人，离消防站 B 最近；另一个区域里的人，离消防站 C 最近。最终，每一个地方，都被分配给离它最近的一个消防站。

如果把这些区域画出来，你就会得到一种非常漂亮的几何图案：沃罗诺伊图。

一切从几个点开始

沃罗诺伊图的起点非常简单：一些散布在平面上的点。这些点可以代表任何东西，比如：消防站、医院、商店、学校、城市，甚至树木。我们把这些点叫作 生成点 或者站点。

假设我们现在只有三个点：A、B 和 C。接下来，个平面上的每一个位置，都去找离自己最近的那个点。比如，点 A 周围的一大片区域的所有位置，都离 A 最近。点 B 也同样获得自己的区域。点 C 同样获得自己的区域。于是整个平面就被分割成三个部分：A 的区、B 的区域和 C 的区域。每个区域就是 沃罗诺伊单元，或者叫做 沃罗诺伊区域。一个生成点，对应一个沃罗诺伊区域。如果有10个点，通常就会得到10个区域。如果有100个点就会得到100个区域。

那么边界在哪里？

这是整个沃罗诺伊图最关键的地方。

假设只有两个点A和B，那么，问题就变成了：什么时候一个位置离这两个点一样近？答案是：正好位于它们中间的位置。于是，A和B这两个点正中间的直线，就是这两个点的分界线。线上的每一个点，都与A和B这两个点的距离完全相同。而线的两侧，分别属于A和B。数学上，两个点之间所有距离相等的位置，会形成一条 垂直平分线。所以，沃罗诺伊图中的边界，并不是随便画出来的，它其实来自一个非常简单的数学规则：找出距离两个生成点一样远的位置。

三个点会发生什么？现在增加第三个点C，这时候，A、B、C都开始争夺自己的区域。每一个位置都要问：“我离谁最近？”最终,整个平面会被切割成三个区域。而这些区域的边界，就是不同生成点之间的 等距离线。

点越多，边界线形成的图案越复杂。从3个点开始，增加到10个点，再增加到50个点，再增加到100个点，你会看到，整个平面开始迅速形成复杂的多边形网络。但是仔细观察会发现：每一个区域，仍然只是围绕着一个生成点，规则从来没有改变。

为什么它看起来这么像细胞？

如果你随机生成大量点，沃罗诺伊图很容易出现一种非常熟悉的视觉，那就是细胞。一个个不规则的多边形，彼此紧密排列，每个区域都有自己的中心，边界又和周围区域自然衔接。

所以你会发现，沃罗诺伊图经常让人联想到细胞、蜂巢、龟裂的土地、动物皮肤纹理、泡沫或者是城市街区。

但这里有一个重要的区别：它们看起来相似，并不意味着它们都是由沃罗诺伊图产生的。沃罗诺伊图首先是一个数学上的空间划分规则。自然界中的类似结构，有些可能与这种几何规律有关，有些则来自完全不同的物理过程。

为什么边界总是这么整齐？这是沃罗诺伊图非常漂亮的地方。假设只有两个生成点A和B，之间有一条边界，边界上的所有位置到A和B的距离完全相同，那么，边界天然就是 A与B的垂直平分线。当有更多点的时候，这些垂直平分线彼此相交，最终形成 一个由直线组成的多边形网络。因此你看到的沃罗诺伊图，虽然看起来像是随机生成的，但它实际上拥有非常严格的几何结构。

它不仅可以表示消防站

现在回到最开始的消防站。假设城市里有消防站A、消防站B、消防站C、消防站D等等。我们把每个消防站变成一个点，然后生成沃罗诺伊图。那么，每一个沃罗诺伊区域，就可以理解成一个消防站最“负责”的区域。如果某个居民住在A的区域里，A是距离他最近的消防站。如果住在B的区域，B是最近的消防站。于是，一张看起来非常漂亮的几何图，其实可以直接表达一个非常现实的问题。

沃罗诺伊图不仅可以表示消防站，同样的方法可以用于医院，哪一家医院离我最近？商店，哪一家商店覆盖这个区域？学校，哪所学校距离学生最近？快递站，哪个配送中心负责这个区域？手机基站，哪个基站距离手机最近？所以沃罗诺伊图不只是一个漂亮的数学图案，它还是一种非常实用的 空间划分工具。

沃罗诺伊图甚至可以解释“最近”这件事情。沃罗诺伊图最核心的思想其实只有两个字：最近。给你一堆点，对于平面上的任何一个位置，问：哪个点离我最近？回答这个问题，就能得到它属于哪个区域。把所有位置的答案全部画出来，沃罗诺伊图就出现了。

你甚至可以把沃罗诺伊图理解成一台数学机器。机器拿到一堆点，然后对屏幕上的每一个位置问：“你离哪个点最近？”如果答案是A，就把这里分给A。如果答案是B，就分给B。如果答案是C，就分给C。……。最后，整个空间就被自动分割了。

随机的点，也能产生秩序

如果我们随机撒一些点，点的位置完全随机。但是一旦应用 “每个位置归最近的点所有” 这个简单规则之后，一个高度有组织的几何结构就出现了。也就是说，随机的输入，也可以产生有秩序的空间划分。

这和分形不一样，沃罗诺伊图 不是分形，它没有无限递归，没有无限自相似，也没有不断放大的相同结构。它的核心是：空间划分。

一个点，就是一个“中心”

你可以把沃罗诺伊图想象成 一群点正在争夺空间。每一个点都在说：“这里离我最近。”另一个点说：“不，这里离我更近。”最终，它们之间形成一道道边界。而整个平面，就在这种“最近距离”的竞争中，被划分成无数个区域。

更有趣的是，改变规则，世界也会改变。标准沃罗诺伊图使用的是 欧几里得距离，也就是我们平时熟悉的直线距离。例如：一个点距离你3米，另一个点5米，那么显然，第一个点更近。

但现实世界不一定这么简单。比如你在城市里，直线距离最近的医院，不一定是开车最快到达的医院，因为还需要考虑道路、河流、山脉、交通等各种因素。所以，“距离”并不只是欧几里得距离。如果把“距离”的定义改变，沃罗诺伊图图也会跟着发生变化。这就是数学非常有趣的地方：改变一个规则，就可能改变整个世界的形状。

一个简单的问题，创造了一整张地图

当你看到一张漂亮的沃罗诺伊图时，不要只把它看成：随机生成的彩色多边形。你其实正在看到：整个空间对于“谁离我最近”这个问题的答案。每一块区域都在回答：“这里属于谁？”每一条边界都在回答：“从哪里开始，另一个点变得更近？”每一个顶点，又代表多个区域之间非常特殊的几何关系。

沃罗诺伊图的故事其实可以浓缩成一句话：给我一些点，我就能把整个世界分给离每个地方最近的那个点。没有复杂的递归，没有神秘的公式，也没有人为设计。只有点、距离、最近。但是当这些简单规则作用于整个平面时，一个复杂而美丽的几何世界就出现了。

从“最近”开始探索数学世界

沃罗诺伊图 展示的是 距离如何塑造空间。

你还可以继续探索谢尔宾斯基三角形，看看如何从一个三角形开始，不断挖洞，让简单图形产生无限递归。

或者探索科赫雪花，看看如何通过不断修改边缘，让一条简单的直线，变成无限复杂的雪花。

或者探索希尔伯特曲线，看看让一条曲线不断递归，最终如何逐渐填满一个二维空间。

或者分形龙，看看如何通过不断折叠，让一条简单的线形成神秘的龙形结构。

而 沃罗诺伊图 则完全不同，它不需要无限递归，只需要问 “谁离这里最近？”，一个简单的问题，就足以把整个空间变成一幅令人惊叹的数学地图。