Epicicloides y Spirograph
¿Qué forma se dibuja cuando un círculo rueda por el exterior de otro?
Imagina un círculo pequeño rodando continuamente por el exterior de un círculo más grande.
Si fijas un punto en el círculo pequeño y dejas que se mueva con él, dicho punto trazará una curva compleja en el plano.
Al principio, es posible que solo veas un círculo pequeño girando. Pero a medida que sigue rodando, va surgiendo gradualmente una hermosa trayectoria. Puede recordar a pétalos o a una estrella, o incluso formar intrincados patrones de ondas y bucles.
Las curvas generadas por este tipo de movimiento circular pertenecen a una familia fascinante de curvas conocidas como cicloides. Dos de los ejemplos más clásicos son la epicicloide y la epitrocoide.
Partiendo de un círculo simple
Dejemos de lado las matemáticas complejas por un momento.
Imagina un bolígrafo moviéndose alrededor de un círculo; simplemente dibuja un círculo: nada complicado.
Ahora, coloca ese bolígrafo sobre un círculo pequeño en movimiento que, a su vez, rueda a lo largo de un círculo más grande.
La punta del bolígrafo experimenta entonces dos movimientos simultáneos: girar con el círculo grande y girar con el propio círculo pequeño.
Cuando estos dos movimientos se combinan, la trayectoria trazada por la punta del bolígrafo deja de ser un simple círculo y empiezan a aparecer curvas complejas.
Este es el aspecto más fascinante de estas formas matemáticas: pueden surgir trayectorias complejas a partir de unos pocos movimientos circulares muy simples.
¿Qué es una epicicloide?
Empecemos por el caso más sencillo: un círculo pequeño que rueda por el exterior de un círculo más grande. Si seguimos un punto concreto de la circunferencia del círculo pequeño, la trayectoria que describe se denomina epicicloide.
Una característica clave es que el punto se encuentra en el borde del círculo pequeño que rueda, por lo que su movimiento genera un patrón característico de «pétalos» puntiagudos.
Modificar la relación de tamaño entre ambos círculos da lugar a un número distinto de «pétalos»: algunos patrones tienen pocos y otros muchos; algunos son muy puntiagudos, mientras que otros son más redondeados.
Ahora, hagamos un pequeño ajuste: en lugar de situar la punta del bolígrafo en el borde del círculo pequeño, la colocamos en el interior del círculo o a una distancia diferente de su centro.
El círculo pequeño sigue rodando por el exterior del círculo grande, pero la posición del bolígrafo ha cambiado, alterando la trayectoria resultante. Este tipo de curva más general se conoce como epitrocoide.
Un pequeño cambio puede transformar totalmente el patrón
Esto es precisamente lo que hace que esta página sea ideal para la exploración interactiva. Imagina que mantienes constantes los tamaños de ambos círculos y simplemente acercas un poco la punta del bolígrafo al centro del círculo pequeño. La curva podría pasar de tener pétalos puntiagudos a formar ondas suaves y redondeadas. Con más ajustes, podrías incluso generar estructuras complejas con bucles.
Por eso resulta tan divertido experimentar con estas curvas: no hace falta conocer el resultado final de antemano. Basta con cambiar un valor y observar: «¿Qué dibujará esta vez?»
¿Por qué aparecen formas de pétalos?
Es una pregunta muy interesante.
Cuando el círculo pequeño rueda sobre el círculo grande, no se limita a girar alrededor de un centro fijo. Se producen dos movimientos simultáneamente: un movimiento orbital a gran escala y la rotación propia del círculo pequeño.
Existe una relación crucial entre estos dos tipos de rotación: la proporción entre los radios de ambos círculos.
Si la proporción entre los dos círculos es sencilla, la punta del bolígrafo volverá a su posición inicial tras unos pocos ciclos. A medida que la trayectoria se repite —un bucle, dos bucles, tres bucles, etcétera—, acaba formando un patrón cerrado.
La proporción de los radios determina directamente cuántos pétalos o estructuras repetitivas tendrá el patrón.
Incluso puedes visualizarlo como dos engranajes: el grande proporciona el movimiento circular amplio, mientras que el pequeño rueda sobre él y gira al mismo tiempo.
Si los dos engranajes tienen un número diferente de dientes, sus velocidades de rotación difieren, lo que hace que la punta del bolígrafo trace un movimiento complejo y periódico.
Por eso muchos patrones de tipo cicloide parecen creados por maquinaria de precisión; de hecho, están directamente relacionados con la mecánica de los engranajes.
¿Por qué algunos patrones se cierran tan rápido?
Supongamos que la proporción entre el círculo grande y el pequeño es muy sencilla. La punta del bolígrafo podría volver al punto de partida tras unas pocas rotaciones, haciendo que el patrón se cierre rápidamente.
Sin embargo, si la proporción es más compleja, es posible que la punta del bolígrafo deba completar muchas más rotaciones antes de regresar a la posición original, lo que da lugar a un patrón con mayor detalle.
Así pues, cuando veas un patrón de tipo cicloide muy intrincado, a menudo será simplemente el resultado de la proporción específica entre los dos círculos.
Del movimiento circular al arte matemático
El aspecto más fascinante de estas curvas es que no necesitas «dibujarlas» directamente.
Simplemente defines el movimiento —hacer rodar un círculo, rotar otro y colocar la punta del lápiz— y luego los pones en marcha.
La curva surge por sí sola. Esto refleja un concepto compartido por muchas obras de arte matemático: reglas simples que, al repetirse continuamente, dan lugar a estructuras complejas.
A veces, un pequeño cambio puede transformar radicalmente todo el patrón. Esa es la parte más intrigante del dibujo matemático: no estás eligiendo una imagen estática, sino alterando las reglas que la generan.
Explorando el mundo de las cicloides
Las epicicloides muestran las trayectorias intrincadas que se crean cuando un círculo rueda por el exterior de otro. Si te gustan estos patrones matemáticos nacidos de la rotación y el movimiento tipo engranaje, también puedes explorar otra trayectoria de rodadura clásica: el Espirógrafo. En este caso, el círculo más pequeño se mueve dentro del más grande en lugar de hacerlo por su exterior. Este cambio en el movimiento produce un patrón con un estilo completamente diferente.
Partiendo de un simple círculo —mediante la rodadura, la rotación y la repetición— podemos crear innumerables curvas matemáticas complejas y hermosas. El movimiento mismo se convierte en el pincel.
También puedes explorar más patrones matemáticos sorprendentes o leer más sobre las epicicloides en Wikipedia.