Explorez l'empilement d'Apollonius

Fractale d'Apollonius : des cercles imbriqués dans d'autres cercles, à l'infini

Imaginez trois cercles tangents entre eux. Un minuscule espace subsiste entre eux.

Placez maintenant un quatrième cercle dans cet espace, de manière à ce qu'il soit tangent aux trois cercles environnants. Cela crée d'autres espaces, encore plus petits.

Continuez à ajouter de nouveaux cercles — les uns après les autres — : ils deviennent de plus en plus petits et nombreux, tandis que le motif dans son ensemble gagne en complexité.

Si vous poursuivez ce processus, vous découvrirez quelque chose de vraiment remarquable : quel que soit le niveau de zoom, de nouveaux cercles semblent toujours s'insérer entre ceux qui existent déjà. C'est ce qu'on appelle la fractale d'Apollonius.

En partant de trois cercles

Il n'est pas nécessaire de faire appel à des mathématiques complexes pour comprendre le pavage d'Apollonius.

Commençons par trois cercles.

Disposez-les de manière à ce qu'ils soient tangents les uns aux autres ; un petit espace se forme alors au centre, délimité par les trois cercles. Cet espace peut sembler banal, mais voici l'étape fascinante : placez un autre cercle à l'intérieur de cet espace, de façon à ce qu'il touche les trois cercles environnants. Nous obtenons alors quatre cercles tangents entre eux.

C'est là que la magie opère.

Nous avons maintenant quatre cercles, mais si vous regardez de plus près, de nouveaux espaces sont apparus entre eux. Que faire ? C'est simple : continuez à les combler.

Placez un petit cercle dans un nouvel espace de manière à ce qu'il soit tangent aux cercles environnants. Puis, trouvez un autre espace et placez-y un cercle. Trouvez-en un autre, placez-en un autre.

Espace → Placer un cercle → Créer de nouveaux espaces → Placer d'autres cercles → Encore plus de cercles → Continuer...

Si vous ne répétez l'opération que quelques fois, vous verrez apparaître un motif très simple. Mais si vous poursuivez le processus, ce motif devient rapidement complexe.

Pourquoi ces cercles s'emboîtent-ils si parfaitement ?

Cela peut sembler relever du hasard, mais ce n'est pas le cas.

Les mathématiques nous l'apprennent : si l'on connaît la position de plusieurs cercles tangents entre eux, on peut calculer la position exacte et la taille d'un autre cercle qui sera tangent à tous les autres.

Ainsi, au lieu de simplement essayer de voir si un cercle s'insère à un endroit précis, nous calculons exactement où le cercle suivant doit être placé et quelle doit être sa taille en fonction des cercles existants. C'est le principe fondamental du pavage d'Apollonius.

En somme, cela revient à un jeu mathématique consistant à combler les vides.

On peut visualiser le processus comme un ensemble d'espaces vides, chacun formé par les interstices entre les cercles existants. Notre tâche consiste à repérer un interstice et à y insérer un cercle qui s'y ajuste parfaitement. Ce nouveau cercle crée à son tour de nouveaux interstices ; ainsi, chaque ajout génère de nouveaux espaces à combler. C'est un jeu de remplissage mathématique sans fin.

Les premiers cercles ajoutés sont déjà bien plus petits que les cercles initiaux. L'étape suivante en introduit de plus petits encore, suivis d'autres plus petits encore, et ainsi de suite. Finalement, on obtient une multitude de minuscules cercles étroitement imbriqués. Mais le plus fascinant, c'est que le fait d'être « petit » ne signifie pas que le processus s'arrête. Même un cercle si minuscule qu'il est à peine visible peut être entouré de nouveaux interstices, où l'on pourra placer des cercles encore plus petits.

Que se passe-t-il si l'on zoome à l'infini ?

Imaginez que vous voyez un petit cercle. Zoomez, et vous apercevez d'autres petits cercles. Zoomez davantage, et des cercles encore plus petits apparaissent. Zoomez encore, et de nouvelles structures surgissent. Tout comme l'ensemble de Mandelbrot et l'ensemble de Julia, cela suscite une sensation unique : vous pensez avoir atteint la fin du motif, mais le zoom révèle de nouveaux mondes cachés à l'intérieur. Cependant, la manière dont ces détails infinis sont générés diffère.

Les détails infinis de l'ensemble de Mandelbrot résultent de l'itération continue de nombres complexes. En zoomant sur une zone, vous découvrez des frontières complexes et de nouvelles structures.

En revanche, les détails infinis du tamis d'Apollonius (ou empilement de cercles d'Apollonius) proviennent du remplissage répété des espaces entre les cercles par de nouveaux cercles.

L'un repose sur des trajectoires de calcul, tandis que l'autre fait appel à un empilement récursif. Ainsi, si l'ensemble de Mandelbrot est un « monde de calcul infini », le tamis d'Apollonius s'apparente davantage à un « monde d'empilement infini ».

Pourquoi ce nom, « Apollonius » ?

Ce nom provient du mathématicien grec de l'Antiquité Apollonius de Perga, un géomètre renommé qui a apporté une contribution majeure à l'étude des sections coniques et de la géométrie.

Ici, le terme « Apollonius » fait référence à un problème de géométrie classique : comment construire un cercle tangent à un ensemble donné de cercles ? C'est ce que l'on appelle le problème d'Apollonius. Le pavage apollonien repose précisément sur cette relation géométrique de tangence entre les cercles.

Que signifie « tangent » ?

C'est quelque chose que vous voyez tous les jours. Si deux cercles se touchent en un point unique sans se couper, on dit qu'ils sont tangents l'un à l'autre.

La règle fondamentale du pavage d'Apollonius est que les cercles doivent être tangents entre eux ; tout nouveau cercle ajouté doit également être tangent aux cercles environnants. Par conséquent, le motif dans son ensemble constitue en réalité un réseau de cercles tangents d'une grande complexité.

Cela peut sembler complexe, mais les règles sont en fait très simples. Une seule règle de base suffit : repérer un espace vide et y placer un cercle tangent aux cercles environnants. Ensuite, recommencer.

Il n'y a ni peintre, ni dessin manuel, ni ajustement individuel des cercles. Pourtant, le résultat est un motif d'une grande complexité. C'est là tout l'intérêt des graphismes générés mathématiquement : des résultats complexes ne nécessitent pas nécessairement des règles complexes.

Un peu plus de détails sur les mathématiques

Si vous approfondissez un peu les mathématiques, vous découvrirez ici une structure remarquable. Les mathématiciens peuvent utiliser une relation impliquant la courbure des cercles pour en calculer rapidement de nouveaux.

La courbure peut être simplement définie comme le degré de courbure d'un cercle. Les cercles de grand rayon ont une faible courbure, tandis que les très petits cercles ont une courbure élevée.

Ainsi, grand cercle → faible courbure ; petit cercle → courbure élevée.

Dans un empilement de cercles d'Apollonius, il existe une belle relation entre les courbures des différents cercles. Cela signifie que l'empilement dans son ensemble ne repose pas sur une simple intuition graphique, mais constitue une structure mathématique précise.

Pour le problème classique de quatre cercles tangents entre eux, si vous connaissez la courbure de trois cercles, vous pouvez calculer celle du quatrième. Cette relation est connue sous le nom de théorème de Descartes sur les cercles et s'exprime par la formule : (k₁ + k₂ + k₃ + k₄)² = 2(k₁² + k₂² + k₃² + k₄²), où k représente la courbure d'un cercle.

Si les formules ne sont pas votre fort, vous pouvez simplement voir les choses ainsi : si vous connaissez trois cercles, vous pouvez calculer avec précision un autre cercle qui leur est tangent à tous. C'est l'un des fondements mathématiques qui permet au système de « remplir automatiquement » l'espace avec de nouveaux cercles en continu.

Pourquoi l'ensemble paraît-il si ordonné et harmonieux ?

Parce que la position de chaque cercle n'est pas aléatoire ; elle doit satisfaire à une condition de tangence.

Le cercle suivant doit également être tangent aux autres, et celui qui le suit obéit à la même règle.

Ainsi, même à mesure que le nombre de cercles augmente, le motif dans son ensemble reste régi par un principe géométrique unique. Il en résulte une coexistence entre complexité et ordre — ce qui rend précisément le tamis d'Apollonius si fascinant.

En observant un tamis d'Apollonius, vous remarquerez que les cercles sont particulièrement serrés dans certaines zones, leur densité augmentant à mesure que l'on se rapproche des bords.

Un cercle peut être entouré de nombreux cercles plus petits ; en y regardant de plus près, vous découvrirez des cercles encore plus minuscules nichés entre ces derniers. Cette progression — grands cercles → petits cercles → cercles encore plus petits → cercles minuscules → tendant vers l'infini — crée une structure de tailles décroissantes qui confère à l'ensemble du motif une profonde impression de profondeur et de superposition.

Cela évoque à la fois une figure géométrique et un univers miniature

En découvrant une couronne d'Apollonius, beaucoup pensent spontanément à des cellules, des bulles, des planètes, au monde microscopique ou à l'architecture d'une civilisation extraterrestre.

Il ne s'agit, bien entendu, que d'associations visuelles. Les mathématiques, en elles-mêmes, ne décrètent pas : « Je vais dessiner un amas de cellules. » Elles se contentent d'exécuter un processus continu : « Repérer un espace vide et y insérer un cercle tangent. » Pourtant, lorsque cette règle est répétée un nombre suffisant de fois, le cerveau humain cherche naturellement à y reconnaître des formes familières au sein de ces structures denses.

Continuez à explorer un monde aux détails infinis

La couronne d'Apollonius (ou « Apollonian gasket ») est une porte d'entrée vers un monde de « détails infinis ».

Si vous aimez zoomer pour découvrir des structures cachées, vous voudrez peut-être explorer l'ensemble de Mandelbrot, l'ensemble de Julia et la fractale de Newton. Chacun génère des détails infinis d'une manière unique : les ensembles de Mandelbrot et de Julia résultent de l'itération de nombres complexes, la fractale de Newton provient du processus de résolution d'équations, et la couronne d'Apollonius se forme grâce à l'empilement récursif infini de cercles à l'intérieur d'autres cercles. Ensemble, ils illustrent un concept mathématique fascinant : une règle simple, répétée indéfiniment, peut créer un monde d'une complexité pratiquement illimitée.

Alors, pourquoi ne pas commencer avec trois cercles ? Puis zoomez — encore et encore — pour voir où se cache le cercle suivant.

Vous pouvez également explorer d'autres motifs mathématiques étonnants ou en savoir plus sur le problème d'Apollonius sur Wikipédia.