À la découverte des fractales de Newton

Newton n'a jamais vu cette image, et pourtant elle a vu le jour grâce à lui

Beaucoup de gens connaissent Newton — oui, celui que l'on associe à la pomme lui tombant sur la tête.

L'histoire de la pomme (bien que son exactitude historique soit discutable), la gravitation universelle, les trois lois du mouvement... autant d'éléments incontournables des manuels scolaires.

Mais en réalité, il était aussi un mathématicien de génie. Peu de gens savent que Newton a laissé derrière lui quelque chose de remarquable : une méthode mathématique capable de générer des motifs fractals époustouflants.

Fait intéressant, Newton lui-même n'a jamais vu ces motifs, car les ordinateurs n'existaient pas encore lorsqu'il a mis au point cette méthode.

Ce n'est que plus de trois siècles plus tard que l'on a découvert ceci : si un ordinateur répète la méthode de Newton des millions de fois et en restitue les résultats en couleurs variées, le résultat est une œuvre d'art à couper le souffle.

C'est ce qu'on appelle la fractale de Newton.

C'est peut-être là l'aspect le plus merveilleux des mathématiques : une méthode inventée pour le calcul se transforme, des siècles plus tard, en une œuvre d'art.

Imaginez une carte de navigation singulière

Pour l'instant, mettez de côté les formules et ne vous souciez pas des « équations » ; commençons par une simple expérience de pensée.

Imaginez une carte où n'importe quel lieu peut servir de point de départ.

Supposons qu'il y ait trois destinations sur la carte :

🔴 Ville Rouge

🟢 Ville Verte

🔵 Ville Bleue

Chacun doit suivre les mêmes règles de navigation : à chaque pas effectué, le système de navigation recalcule l'itinéraire en fonction de votre position actuelle pour déterminer le mouvement suivant, vous guidant progressivement vers l'une des destinations. Personne n'est libre de choisir son propre chemin ; chacun se déplace en suivant strictement l'itinéraire prévu par le système de navigation.

Colorier les points de départ

Passons maintenant à quelque chose d'intéressant.

Nous allons partir de chaque emplacement sur la carte et voir où chacun aboutit. Si un chemin mène à une ville rouge, nous colorions le point de départ en rouge. S'il mène à une ville verte, nous colorions le point de départ en vert. S'il mène à une ville bleue, nous colorions le point de départ en bleu.

Notez que nous ne colorions pas la destination, mais bien chaque point de départ. À terme, la carte entière sera remplie de différentes couleurs.

C'est la manière la plus intuitive de comprendre la fractale de Newton.

Chaque couleur représente un point d'arrivée différent

Les différentes fractales de Newton peuvent présenter un nombre variable de couleurs — certaines n'en comptent que trois, d'autres quatre, voire davantage — car chaque couleur représente un résultat final distinct.

Par conséquent, différents problèmes mathématiques donnent lieu à des motifs totalement différents.

Bien que les motifs varient, ils découlent tous du même concept sous-jacent : partir de points différents pour finalement aboutir à des destinations différentes.

Pourquoi les frontières sont-elles si complexes ?

C'est là que réside la véritable magie : deux points de départ sur la carte qui se touchent presque — séparés peut-être par un seul petit pas — peuvent mener à des destinations totalement différentes.

On pourrait penser que deux personnes partant presque côte à côte sur la carte, séparées par un seul pas, finiraient toutes deux dans la Ville Rouge, étant donné leur proximité.

Le résultat ? Ce n'est pas le cas. L'une se rend dans la Ville Rouge, tandis que l'autre va dans la Ville Verte.

Par conséquent, une frontière de plus en plus complexe se forme à l'interface entre les zones rouge et bleue.

Si l'on zoome davantage sur ces frontières, on découvre de nouvelles textures, de nouveaux tourbillons et de nouveaux détails. Quel que soit le niveau de grossissement, cette structure complexe réapparaît sans cesse. C'est ainsi qu'une fractale se forme.

Essayez différentes cartes

Des règles différentes produisent des cartes très variées : certaines rappellent des fleurs, d'autres des flocons de neige ; certaines présentent une symétrie de rotation parfaite, tandis que d'autres arborent des contours complexes et délicats.

Bien que les motifs varient à l'infini, le principe fondamental reste le même : chaque couleur représente un chemin menant finalement à la même « destination ».

Cette analogie n'était pas tout à fait exacte

Pour faciliter la compréhension, nous avons précédemment comparé la fractale de Newton à une carte de navigation.

Cependant, dans le processus mathématique réel, il n'y a ni villes ni routes.

Voici ce que fait l'ordinateur : à partir de différentes valeurs initiales, il effectue à plusieurs reprises des calculs basés sur le même ensemble de règles — plus précisément, la même équation. À chaque étape, l'opération suivante est ajustée en fonction du résultat obtenu. Finalement, la valeur se rapproche de plus en plus d'une réponse spécifique. Les mathématiciens appellent cette méthode la méthode de Newton. Les « destinations » finalement atteintes correspondent aux solutions de l'équation.

Ainsi, les villes de notre histoire représentent les différentes réponses mathématiques ; la navigation représente la méthode de Newton ; et la carte colorée dans son ensemble indique vers quelle réponse chaque valeur initiale finit par mener.

Bien que les mathématiques réelles soient plus complexes que cette histoire, elles illustrent le même concept sous-jacent.

Que sont les « équations » et la « résolution d'équations » ?

Prenons l'exemple le plus simple. Supposons que je pose la question : x² = 9 — quelle est la valeur de x ?

La réponse est 3, mais aussi -3 ; ce sont toutes deux des réponses valides. En mathématiques, x² = 9 est appelé une équation, et trouver la réponse s'appelle résoudre l'équation : ce n'est vraiment rien de mystérieux.

Alors, qu'est-ce que la « méthode de Newton » exactement ?

Newton était confronté à un problème : supposons qu'il existe une équation très complexe. Les mathématiciens savent qu'elle possède forcément une solution, mais quelle est cette solution exactement ?

À l'époque où les ordinateurs et les calculatrices n'existaient pas encore, de nombreuses équations étaient tout simplement impossibles à résoudre.

Newton a donc inventé une méthode très ingénieuse. L'idée est simple : on commence par faire une estimation approximative de la réponse, puis on utilise cette estimation pour déterminer dans quel sens ajuster le résultat.

Prenons l'équation x² = 9, par exemple ; supposons que vous ne connaissiez pas la réponse.

Vous proposez 10 : c'est trop élevé.

Vous essayez alors 6 : c'est encore trop élevé.

Puis vous proposez 4 : vous vous rapprochez.

Ensuite : 3,2

Ensuite : 3,01

Enfin : 3,000001 — vous avez trouvé.

Ce processus consiste à se rapprocher de plus en plus de la réponse. En mathématiques, on appelle cela la convergence. En substance, cela signifie que vos estimations deviennent de plus en plus précises.

Aujourd'hui, cette méthode est connue sous le nom de méthode de Newton.

Newton n'avait pas pour but de tracer des fractales

Lorsque Newton a mis au point cette méthode, il n'avait qu'un seul objectif : trouver plus rapidement les solutions d'équations. À l'époque, les ordinateurs n'existaient pas ; son unique intention était d'accélérer le processus de calcul des résultats.

Plus tard, des ordinateurs ont été utilisés pour effectuer ce calcul à partir d'une multitude de valeurs initiales et pour en visualiser les résultats en couleurs. Il est surprenant de constater qu'un algorithme conçu à l'origine pour résoudre des problèmes mathématiques a donné naissance à des motifs d'une telle richesse et d'une telle beauté.

Ainsi, les fractales de Newton n'ont pas été découvertes par Newton lui-même ; elles constituent plutôt une œuvre d'art née « par hasard » de sa méthode à l'ère de l'informatique. Il s'agit davantage d'un « cadeau » traversant trois siècles : Newton a laissé un algorithme, et les ordinateurs nous ont permis d'en révéler la beauté cachée pour la première fois.

Une carte des « destinations de réponse »

Si l'on considère une fractale de Newton comme une carte, elle n'indique pas l'emplacement de villes ; elle retrace plutôt le chemin reliant un point de départ à la réponse spécifique finalement atteinte.

Chaque couleur représente une destination finale distincte. La complexité des frontières montre qu'une infime modification peut conduire à un résultat totalement différent.

C'est pourquoi la fractale de Newton est bien plus qu'un simple motif esthétique : c'est une carte qui illustre des principes mathématiques.

De Newton à nos jours

Il y a plus de trois siècles, Newton a mis au point une méthode pour trouver des solutions. Aujourd'hui, nous utilisons des ordinateurs pour transposer cette méthode dans un univers fractal, que l'on peut admirer sans fin et agrandir à l'infini.

Newton n'a jamais vu ces motifs. Pourtant, aujourd'hui, non seulement vous pouvez les contempler, mais vous pouvez aussi zoomer, les explorer et observer directement comment ils prennent forme, étape par étape. Une idée simple peut traverser les époques et s'épanouir, à l'avenir, en une beauté insoupçonnée.

Personne n'a conçu ces motifs complexes ni dessiné ces tourbillons ; toutes ces frontières élaborées émergent de la répétition constante d'un ensemble unique de règles. Une technique initialement destinée à résoudre des problèmes mathématiques a fini par créer une œuvre d'art époustouflante.

L'aspect le plus fascinant de la fractale de Newton ne réside pas dans son utilité pour aider les mathématiciens à trouver des solutions, mais dans la révélation que le processus de calcul lui-même peut engendrer de l'art.

Continuez à explorer le monde des fractales

Les fractales de Newton montrent comment des algorithmes peuvent transformer la recherche d'une solution en un motif saisissant ; c'est là l'une des nombreuses et merveilleuses expressions du monde mathématique.

Si vous appréciez les surprises nées de variations infinies, essayez d'explorer l'ensemble de Julia ; pour découvrir le motif le plus emblématique du domaine des fractales, penchez-vous sur l'ensemble de Mandelbrot ; quant à la fougère de Barnsley et à l'arbre de Pythagore, ils illustrent comment de simples règles mathématiques peuvent créer une beauté mêlant nature et géométrie.

Certaines fractales évoquent la nature, d'autres illustrent la récursion, tandis que d'autres encore capturent le cheminement vers une solution ; ensemble, elles révèlent que les mathématiques peuvent non seulement expliquer le monde, mais aussi créer une beauté époustouflante.

Vous pouvez également explorer d'autres motifs mathématiques fascinants ou en savoir plus sur les fractales de Newton sur Wikipédia.