Explorando los fractales de Newton

Newton nunca vio esta imagen, pero surgió gracias a él

Mucha gente conoce a Newton; sí, el Newton asociado con la manzana que le cayó en la cabeza.

La historia de la manzana que cae (aunque su exactitud histórica sea discutible), la gravitación universal, las tres leyes del movimiento... todos estos son elementos fundamentales de los libros de texto.

Pero, en realidad, también fue un matemático brillante. Pocas personas saben que Newton dejó algo especial: un método matemático capaz de generar patrones fractales asombrosos.

Curiosamente, el propio Newton nunca vio estos patrones, ya que las computadoras aún no existían cuando ideó el método.

No fue hasta más de tres siglos después que se descubrió lo siguiente: si una computadora repite el método de Newton millones de veces y representa los resultados con diversos colores, el resultado es una obra de arte impresionante.

Se trata del fractal de Newton.

Quizás este sea el aspecto más maravilloso de las matemáticas: un método inventado para realizar cálculos se transforma, siglos más tarde, en una obra de arte.

Imagina un mapa de navegación peculiar

Por ahora, deja de lado las fórmulas y no te preocupes por las «ecuaciones»; comencemos con un sencillo experimento mental.

Imagina que tenemos un mapa donde cualquier ubicación puede servir como punto de partida.

Supongamos que hay tres destinos en el mapa:

🔴 Ciudad Roja

🟢 Ciudad Verde

🔵 Ciudad Azul

Todos deben seguir el mismo conjunto de reglas de navegación: con cada paso que se da, el sistema de navegación recalcula la ruta a partir de la ubicación actual para determinar el siguiente movimiento, guiándote progresivamente hacia uno de los destinos. Nadie es libre de elegir su propio camino; todos viajan siguiendo estrictamente la ruta planificada por el sistema de navegación.

Colorear los puntos de partida

A continuación, hagamos algo interesante.

Partiremos de cada ubicación del mapa y veremos dónde termina cada una. Si un camino conduce a una ciudad roja, coloreamos el punto de partida de rojo. Si conduce a una ciudad verde, coloreamos el punto de partida de verde. Si conduce a una ciudad azul, coloreamos el punto de partida de azul.

Ten en cuenta que no estamos coloreando el destino, sino cada punto de partida. Con el tiempo, todo el mapa se llenará de diferentes colores.

Esta es la forma más intuitiva de entender el fractal de Newton.

Cada color representa un punto final diferente

Los distintos fractales de Newton pueden presentar un número variable de colores —algunos tienen solo tres, otros cuatro y algunos incluso más—, ya ​​que cada color representa un resultado final distinto.

En consecuencia, diferentes problemas matemáticos dan lugar a patrones completamente distintos.

Aunque los patrones varían, todos ellos surgen del mismo concepto subyacente: partir de puntos diferentes y llegar finalmente a destinos distintos.

¿Por qué los límites son tan complejos?

Aquí es donde reside la verdadera magia: dos puntos de partida en el mapa que casi se tocan —separados quizás por un solo paso pequeño— pueden conducir a destinos completamente diferentes.

Podrías pensar: dos personas que comienzan casi una al lado de la otra en el mapa, separadas por un único paso... seguramente, al estar tan cerca, ambas terminarían en la Ciudad Roja.

¿El resultado? No es así. Una va a la Ciudad Roja, mientras que la otra va a la Ciudad Verde.

En consecuencia, se forma un límite cada vez más complejo en la zona de contacto entre las áreas roja y azul.

Si amplías la imagen sobre estos límites, descubres nuevas texturas, nuevos remolinos y nuevos detalles. Por mucho que aumentes la vista, esta estructura compleja sigue reapareciendo. Y así, se forma un fractal.

Prueba diferentes mapas

Diferentes reglas dan lugar a mapas muy distintos: algunos se asemejan a flores, otros parecen copos de nieve; algunos presentan una simetría rotacional perfecta, mientras que otros muestran bordes intrincados y delicados.

Aunque los patrones varían infinitamente, el concepto subyacente sigue siendo el mismo: cada color representa un camino que, en última instancia, conduce al mismo «destino».

Esa analogía no era del todo exacta

Para facilitar su comprensión, comparamos anteriormente el fractal de Newton con un mapa de navegación.

Sin embargo, en el proceso matemático real no existen ciudades ni carreteras.

Lo que hace el ordenador es lo siguiente: partiendo de diferentes valores iniciales, realiza cálculos repetidamente basándose en el mismo conjunto de reglas (concretamente, en la misma ecuación). En cada paso, el siguiente movimiento se ajusta según el resultado actual. Con el tiempo, el valor se acerca cada vez más a una respuesta específica. Los matemáticos denominan a este procedimiento método de Newton. Los «destinos» que se alcanzan finalmente son las soluciones de la ecuación.

Así pues, las ciudades de la historia representan las distintas respuestas matemáticas; la navegación representa el método de Newton; y el colorido mapa en su conjunto registra a qué respuesta conduce finalmente cada valor inicial.

Aunque las matemáticas reales son más complejas que esta historia, ambas transmiten el mismo concepto subyacente.

¿Qué son las 'ecuaciones' y 'resolver ecuaciones'?

Veamos el ejemplo más sencillo. Supongamos que pregunto: x² = 9; ¿a qué es igual x?

La respuesta es 3, y también -3; ambas son respuestas válidas. En matemáticas, x² = 9 se denomina ecuación, y hallar la respuesta se llama resolver la ecuación; en realidad, no tiene ningún misterio.

Entonces, ¿qué es exactamente el «método de Newton»?

Newton se enfrentaba a un problema: supongamos que existe una ecuación muy compleja. Los matemáticos saben que sin duda tiene solución, pero ¿cuál es exactamente esa solución?

En la época anterior a las computadoras y las calculadoras, muchas ecuaciones eran simplemente imposibles de resolver.

Así que Newton ideó un método muy ingenioso. La idea es sencilla: se empieza haciendo una estimación aproximada de la respuesta y luego se utiliza esa estimación para calcular en qué dirección realizar el ajuste.

Tomemos como ejemplo la ecuación x² = 9; supongamos que no conoces la respuesta.

Pruebas con 10: es demasiado alto.

Pruebas con 6: sigue siendo demasiado alto.

Luego pruebas con 4: te acercas más.

Después: 3,2

Luego: 3,01

Finalmente: 3,000001; ya la has encontrado.

Este proceso consiste en acercarse cada vez más a la respuesta. En matemáticas, esto se denomina convergencia. Básicamente, significa que tus estimaciones son cada vez más precisas.

Hoy en día, este método se conoce como el método de Newton.

Newton no se propuso dibujar fractales

Cuando Newton ideó este método, tenía un único objetivo: hallar soluciones a ecuaciones con mayor rapidez. En aquella época no existían las computadoras; su única intención era agilizar el proceso de cálculo de resultados.

Más tarde, se utilizaron computadoras para ejecutar el cálculo con innumerables valores iniciales y visualizar los resultados mediante el uso del color. Sorprendentemente, un algoritmo diseñado originalmente para resolver problemas matemáticos dio lugar a patrones de gran riqueza y belleza.

Por tanto, los fractales de Newton no fueron descubiertos realmente por el propio Newton; más bien, son una obra de arte que surgió «accidentalmente» de su método en la era informática. Se trata más bien de un «regalo» que trasciende tres siglos: Newton nos legó un algoritmo, y las computadoras nos permitieron contemplar por primera vez su belleza oculta.

Un mapa que traza los «destinos de respuesta»

Si consideramos un fractal de Newton como un mapa, este no registra la ubicación de ciudades; en su lugar, traza la trayectoria desde un punto de partida hasta la respuesta específica a la que finalmente se llega.

Cada color representa un destino final distinto. La complejidad de los límites indica que incluso un cambio minúsculo podría conducir a un resultado completamente diferente.

Por esta razón, el fractal de Newton es más que un simple patrón hermoso: es un mapa que ilustra principios matemáticos.

De Newton a la actualidad

Hace más de tres siglos, Newton ideó un método para hallar respuestas. Hoy en día, utilizamos ordenadores para transformar ese método en un mundo fractal: uno que puede admirarse sin fin y ampliarse infinitamente.

Newton nunca vio estos patrones. Sin embargo, hoy no solo puedes verlos, sino también acercar la imagen, explorarlos y presenciar de primera mano cómo cobran forma paso a paso. Una idea sencilla puede trascender el tiempo y florecer en una belleza inesperada en el futuro.

Nadie diseñó estos intrincados patrones ni dibujó estos vórtices en espiral; todos los complejos contornos surgen de la repetición constante de un único conjunto de reglas. Una técnica concebida originalmente para resolver problemas matemáticos ha acabado creando una obra de arte impresionante.

El aspecto más fascinante del fractal de Newton no es su utilidad para ayudar a los matemáticos a calcular respuestas, sino la revelación de que el propio proceso de cálculo puede crear arte.

Sigue explorando el mundo de los fractales

Los fractales de Newton demuestran cómo los algoritmos pueden transformar el proceso de búsqueda de una respuesta en un patrón impresionante; es solo una de las muchas expresiones maravillosas que se encuentran en el mundo matemático.

Si disfrutas de las sorpresas que surgen de la variación infinita, prueba a explorar el conjunto de Julia; para descubrir el patrón más icónico del ámbito fractal, echa un vistazo al conjunto de Mandelbrot; por otro lado, el helecho de Barnsley y el árbol de Pitágoras muestran cómo reglas matemáticas simples pueden crear una belleza que fusiona la naturaleza y la geometría.

Algunos fractales representan la naturaleza, otros ilustran la recursividad y algunos capturan el viaje hacia la obtención de una solución; en conjunto, revelan que las matemáticas no solo pueden explicar el mundo, sino también crear una belleza asombrosa.

También puedes explorar más patrones matemáticos fascinantes o leer más sobre los fractales de Newton en Wikipedia.