探索谢尔宾斯基地毯
谢尔宾斯基地毯：一块不断被挖空的数学地毯
如果给你一块完整的正方形地毯：
□
然后每次都做一件非常简单的事情：把它分成 9 个相同的小正方形，拿掉正中央的那个，然后对剩下的每一块继续做同样的事情。一次，两次，十次，甚至无限次。最后，你得到的将不再是一块普通的地毯，而是一种充满孔洞、层层嵌套、无论放大多少都能发现新结构的奇妙分形：谢尔宾斯基地毯。
一切从一个正方形开始
谢尔宾斯基地毯的起点非常简单，只有一个完整的正方形。如果用分形构造的语言来说，它就是最初的 起始图形。现在还没有任何复杂结构，没有孔洞，没有纹理，没有分形，只有一块完整的“数学地毯”。
第一次：挖掉正中央
接下来，把这个正方形平均分成 3 × 3 = 9 个完全一样的小正方形，就像一个九宫格。
┌───┬───┬───┐
│ │ │ │
├───┼───┼───┤
│ │ │ │
├───┼───┼───┤
│ │ │ │
└───┴───┴───┘
现在，把正中央的那个小正方形去掉。于是，一个小小的正方形孔洞出现了。
┌───┬───┬───┐
│ █ │ █ │ █ │
├───┼───┼───┤
│ █ │ │ █ │
├───┼───┼───┤
│ █ │ █ │ █ │
└───┴───┴───┘
这就是谢尔宾斯基地毯的第一步。
第二次：继续挖
现在我们还有 8 个小正方形。那么，对这 8 个正方形分别重复刚才的操作：每一个正方形分成 9 个，去掉中央 1 个，于是，1 个变成 8 个，这样 8 个正方形就一共变成 64 个正方形。再下一次，64 个变成 512 个。继续，变成 4096 个。……
这就是递归
谢尔宾斯基地毯的核心是 递归
它的意思其实非常简单：刚刚做完的事情，再对新的对象做一次。
第一次，对整个正方形挖一个洞。第二次，对剩下的 8 个小正方形分别挖洞。第三次，对剩下的 64 个更小的正方形继续分别挖洞。……。规则从头到尾没有改变，一直是 分成 9 个，去掉中央 1 个。
让我们计算一下每次出现的洞的数量。
第一次，1 个洞。第二次，新出现 8 个洞，现在一共有 9 个洞。第三次，新出现 64 个洞，现在一共有 73 个洞。第四次，新出现 512 个洞，现在一共有 585 个洞。所以你在画面上看到的孔洞数量会非常快地增加。
当你把图案迭代几次以后，它看起来很像一块被打了很多孔的地毯。而且这些孔洞不是随机出现的，它们大小不同，但排列非常有规律。大的孔洞里面有小的孔洞，小的孔洞里面还有更小的孔洞。所以它看起来就像 一块拥有无限层次的数学地毯。这就是 谢尔宾斯基地毯 这个名字的由来。
如果你看整个图案，你看到的是一块巨大的地毯。但是，放大其中任意一个保留下来的小正方形，你又会看到一个缩小版的地毯。继续放大，还有。再放大，还是有。理论上，这个过程可以无限继续。这就是 自相似。
什么叫“自相似”？
其实很好理解：整体看起来像局部。
谢尔宾斯基地毯就是一个非常典型的例子。整个地毯由 8 个更小的地毯结构组成。每一个小地毯又由 8 个更小的地毯组成。以无论你站在大尺度还是小尺度，都能发现相似的结构。
一些有趣的事情
谢尔宾斯基地毯的面积会怎么变化？
这是谢尔宾斯基地毯一个非常有趣的数学性质。最开始，面积 = 100%。第一次，我们把正方形分成 9 个，去掉其中 1 个，所以剩下 8/9 ≈ 89%。第二次，剩下的区域再次保留 8/9，所以总面积变成 (8/9)² ≈ 79%。第三次，(8/9)³ ≈ 70%。……。经过 n 次迭代，剩余面积 = (8/9)ⁿ。当 n 越来越大，这个数字会越来越小。所以如果无限次重复，谢尔宾斯基地毯的面积趋近于 0。
可是它明明看起来还这么“大”？
这就是分形非常有趣的地方。你在屏幕上看到一个巨大的、非常复杂的图案，但是从数学极限来看，它的面积却趋近于 0。换句话说，看起来非常“丰富”的结构，却可以拥有趋近于零的面积。这是一种非常反直觉的数学现象。
但它并没有变成“一堆点”
虽然面积趋近于 0，但谢尔宾斯基地毯并不是简单地变成几个孤零零的点。它依然拥有 无限多层结构。你可以放大，再放大，继续放大，仍然能够发现新的几何关系。所以，面积和结构复杂程度是两件不同的事情。一个图形可以 面积越来越小，同时结构越来越复杂。
如果你想稍微深入一点数学，可以了解一下，谢尔宾斯基地毯的分形维数是 log(8) / log(3) ≈ 1.893。为什么？因为每一次，一个正方形被缩小为原来的 1/3，同时，我们保留 8 个这样的正方形。因此，8 = 3ᴰ，于是，D = log(8) / log(3)，约等于 1.893。这个数字告诉我们，谢尔宾斯基地毯比一条普通的线复杂得多，但又没有一个完整的二维平面那么“填满空间”。
如果你只是想欣赏图案，完全不需要理解这个数字。但它很好地展示了 分形可以拥有介于整数维度（例如，一维直线、二维平面、三维立体空间）之间的几何结构。
一个非常简单的“数学机器”
谢尔宾斯基地毯不是随机打孔。如果让一个人随机地在正方形上打很多孔，最终得到的图案可能也很复杂，但是，那不是谢尔宾斯基地毯。谢尔宾斯基地毯的每一个孔洞，都有自己的位置，都有自己的大小，也都有自己的层级。它们全部来自同一个规则：3 × 3 分割，去掉中央，再递归。所以，谢尔宾斯基地毯看起来虽然复杂，却拥有非常强的秩序。
你可以把谢尔宾斯基地毯想象成一台机器。机器拿到一个正方形，然后执行这些操作：分成 9 个，去掉中央；接下来，对剩下的 8 个，再次分成 9 个，再次去掉中央；然后，继续，继续，继续。……
机器从头到尾 从来没有改变过自己的规则，但，经过足够多次迭代以后，它制造出了一个极其复杂的图案。
这就是分形最迷人的地方。谢尔宾斯基地毯并没有一张复杂的“设计图”，没有人告诉计算机：“这里画一个大洞。”“那里画一个小洞。”“这里再画一个更小的洞。”所有这些细节，都是递归规则自己产生的。我们只需要告诉它，“每次分成 9 个，拿掉中央的那个。”，剩下的，交给数学。
谢尔宾斯基地毯和普通的地毯有什么区别？
普通地毯是一块完整的二维区域。
而谢尔宾斯基地毯 不断把自己的内部挖掉。第一次，挖一个洞。第二次，在剩余区域继续挖。第三次，继续挖。……。结果，孔洞越来越多，结构越来越复杂，但是，规则始终只有一个。
它和谢尔宾斯基三角形有什么不同？
如果你看过 谢尔宾斯基三角形，那么你一定会发现，这两个图形真的很像。它们的共同点是：简单图形 → 分割 → 去掉一部分 → 对剩下的部分重复 → 无限递归。但它们从不同的图形开始。
谢尔宾斯基三角形 从 三角形 开始，每次分成 4 个小三角形，然后去掉中间 1 个，留下 3 个。它的变化过程是 1 → 3 → 9 → 27 → …。
谢尔宾斯基地毯 从 正方形 开始，每次分成 9 个小正方形，然后去掉中央 1 个，留下 8 个。它的变化过程是 1 → 8 → 64 → 512 → …。
简单的对比是这样，谢尔宾斯基三角形 是三角形里挖三角形，而 谢尔宾斯基地毯 是正方形里挖正方形。它们使用的是非常相似的递归思想，但因为起始图形不同以及分割方式不同，最终形成了完全不同的分形世界。
它和科赫雪花有什么不同？
它们也有一个非常有趣的对比。
谢尔宾斯基地毯 核心是 不断删除。正方形 → 挖掉中央 → 继续挖 → 越来越多孔洞。
科赫雪花 核心则是 不断增加。从一条边开始 → 向外增加新的线段 → 继续增加 → 边缘越来越复杂。
所以可以把它们想成这样，谢尔宾斯基地毯，向里面挖，科赫雪花，向外生长。两者的生成方式不一样，但是都是 通过简单的重复规则，最终创造出无限复杂的几何结构。
从一个正方形，到一个无限世界
如果把整个过程想象成真正的地毯，你似乎一直在挖洞。挖一个，再挖八个，再挖六十四个，再挖五百一十二个。……
洞越来越多，每一个洞越来越小，地毯的面积越来越少。但是，你永远无法真正完成最后一次。因为，没有最后一次。只要还能继续，就还有下一层。这就是谢尔宾斯基地毯最迷人的地方，它是一块永远挖不完的地毯。
最开始，□，只是一个普通正方形。
然后，分成 9 个，挖掉中央。然后，对剩下的 8 个继续做同样的事情。再继续。再继续。……
最终，一个简单的正方形，变成了一个拥有无限层次的分形世界。
它告诉我们：复杂性不一定来自复杂的设计，有时候，只需要一个非常简单的规则，然后让它重复足够多次。
继续探索分形世界
谢尔宾斯基地毯 是分形世界中非常经典的一种结构。
如果你喜欢这种 简单规则 → 不断递归 → 无限复杂，还可以继续探索 谢尔宾斯基三角形，看看同样的“不断挖洞”思想，如何从正方形换成三角形，最终形成完全不同的几何结构。或者 科赫雪花，看看一条简单的边缘，如何不断增加新的细节，最终形成一片无限复杂的数学雪花。或者 列维 C 曲线，看看一条普通的直线，如何通过一个简单的生成元，不断递归、折叠，最终形成复杂的分形曲线。以及 分形龙，看看一条简单的线，如何经过不断折叠，最终形成神秘的龙形结构。
它们的规则各不相同，有的在增加，有的在删除，有的在折叠，有的在铺设。但它们共同展示了分形世界最迷人的秘密之一：一个非常简单的规则，只要重复足够多次，就可以创造出远远超出想象的复杂结构。
你还可以继续欣赏更多奇妙的数学图形，或者查看维基百科上更多关于 谢尔宾斯基地毯 的介绍。