시에르핀스키 카펫 탐색

시어핀스키 카펫: 계속해서 속이 비워지는 수학적 카펫

빈틈없이 꽉 찬 정사각형 카펫에서 시작해 봅시다:

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그런 다음 아주 간단한 과정을 반복합니다. 카펫을 똑같은 크기의 작은 정사각형 9개로 나누고, 그중 정중앙에 있는 정사각형을 제거한 뒤, 남은 정사각형들 각각에 대해 똑같은 과정을 되풀이하는 것입니다. 이 과정을 한 번, 두 번, 열 번, 혹은 무한히 반복해 보세요. 그러면 결국 평범한 카펫과는 전혀 다른, 경이로운 프랙탈 구조가 탄생합니다. 수많은 구멍이 뚫려 있고 층이 겹겹이 중첩되어 있으며, 아무리 확대해도 새로운 구조가 계속해서 드러나는 이 도형이 바로 시어핀스키 카펫입니다.

모든 것은 정사각형에서 시작됩니다

시어핀스키 카펫(Sierpinski carpet)의 시작점은 매우 간단합니다. 바로 빈틈없이 채워진 하나의 정사각형입니다. 프랙탈 구성의 용어로 말하자면, 이것이 초기 시작 형태입니다. 이 단계에서는 복잡한 구조나 구멍, 질감, 프랙탈 패턴이 전혀 없으며, 그저 온전한 '수학적 카펫'일 뿐입니다.

1단계: 중앙의 정사각형 제거하기

다음으로, 이 정사각형을 마치 틱택토(tic-tac-toe) 판처럼 똑같은 크기의 작은 정사각형 9개(3 × 3 격자)로 나눕니다.

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이제 정중앙에 있는 작은 정사각형을 제거합니다. 그러면 정사각형 모양의 작은 구멍이 생깁니다.

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이것은 시에르핀스키 카펫의 첫 번째 단계입니다.

두 번째 반복: 계속해서 제거하기

이제 8개의 작은 정사각형이 생겼습니다. 따라서 이 8개의 정사각형 각각에 대해 앞서 수행한 작업을 반복합니다. 즉, 각 정사각형을 9등분하고 가운데 부분을 제거하는 것입니다. 이렇게 하면 1개의 정사각형이 8개가 되고, 결과적으로 8개의 정사각형은 총 64개의 정사각형이 됩니다. 다음 단계에서는 64개의 정사각형이 512개가 되며, 계속 진행하면 4,096개가 됩니다...

이것이 바로 재귀(recursion)입니다

시어핀스키 카펫(Sierpinski carpet)의 핵심 개념은 바로 재귀(recursion)입니다.

그 원리는 아주 간단합니다. 방금 수행한 동작을 새로운 대상에 대해 반복하는 것입니다.

첫 번째 단계에서는 전체 정사각형에 구멍을 하나 뚫습니다. 두 번째 단계에서는 남은 8개의 작은 정사각형 각각에 구멍을 뚫습니다. 세 번째 단계에서는 남은 64개의 더 작은 정사각형 각각에 구멍을 뚫는 식으로 계속 진행합니다... 이 과정 내내 규칙은 변하지 않습니다. 즉, 도형을 9개의 부분으로 나누고 가운데 부분을 제거하는 것입니다.

각 단계에서 생겨나는 구멍의 개수를 계산해 봅시다.

첫 번째 단계에는 구멍이 1개 있습니다. 두 번째 단계에서는 8개의 새로운 구멍이 생겨 총 9개가 됩니다. 세 번째 단계에서는 64개의 새로운 구멍이 생겨 총 73개가 됩니다. 네 번째 단계에서는 512개의 새로운 구멍이 생겨 총 585개가 됩니다. 결과적으로 이미지에 나타나는 구멍의 수는 매우 빠르게 증가합니다.

이 패턴을 몇 차례 반복하면 구멍이 가득한 카펫처럼 보입니다. 이 구멍들은 무작위로 생기는 것이 아닙니다. 크기는 다양하지만 그 배열은 엄격한 규칙을 따릅니다. 큰 구멍 안에는 더 작은 구멍이 있고, 그 안에는 다시 더 작은 구멍이 들어 있습니다. 마치 무한한 층으로 이루어진 수학적 카펫처럼 보이며, 이것이 바로 시어핀스키 카펫이라는 이름이 붙은 이유입니다.

전체 패턴을 보면 거대한 카펫처럼 보입니다. 하지만 남은 작은 정사각형 중 하나를 확대해 보면 카펫의 축소판이 보입니다. 더 확대해도 같은 모습이 보이고, 또 확대해도 여전히 그 모습이 나타납니다. 이론적으로 이 과정은 무한히 계속될 수 있습니다. 이것을 자기 유사성(self-similarity)이라고 합니다.

'자기 유사성(self-similarity)'이란 무엇인가요?

이해하기는 꽤 간단합니다. 바로 전체가 부분과 닮아 있다는 것입니다.

시어핀스키 카펫(Sierpinski carpet)이 대표적인 예입니다. 카펫 전체는 8개의 더 작은 카펫 구조로 이루어져 있고, 그 각각의 작은 카펫 또한 8개의 더 작은 카펫으로 구성되어 있습니다. 큰 규모로 보든 작은 규모로 보든, 비슷한 구조를 확인할 수 있습니다.

흥미로운 것들

시어핀스키 카펫의 넓이는 어떻게 변할까요?

이는 시어핀스키 카펫이 가진 흥미로운 수학적 성질입니다. 처음에는 넓이가 100%입니다. 첫 번째 단계에서 정사각형을 9개의 작은 정사각형으로 나누고 그중 하나를 제거하면, 전체 넓이의 8/9(약 89%)가 남습니다. 두 번째 단계에서는 남은 넓이의 8/9를 유지하므로, 전체 넓이는 (8/9)²(약 79%)가 됩니다. 세 번째 단계에서는 (8/9)³(약 70%)가 되는 식으로 계속 진행됩니다. *n*번 반복한 후의 남은 넓이는 (8/9)ⁿ입니다. *n*이 커질수록 이 값은 작아집니다. 따라서 이 과정을 무한히 반복하면 시어핀스키 카펫의 넓이는 0에 가까워집니다.

하지만 보기에는 분명히 아주 '커' 보이는데요?

바로 그 점이 프랙탈을 매우 흥미롭게 만듭니다. 화면상으로는 거대하고 매우 복잡한 패턴이 보이지만, 수학적 극한의 관점에서 보면 그 넓이는 0에 수렴하니까요. 다시 말해, 겉보기에는 믿을 수 없을 만큼 '풍성'하고 정교해 보이는 구조라도 실제 넓이는 0에 가까워질 수 있는 것입니다. 이는 매우 직관에 반하는 수학적 현상입니다.

하지만 단순히 '수많은 점'으로 변하는 것은 아닙니다

면적은 0에 가까워지지만, 시에르핀스키 카펫(Sierpinski carpet)은 단순히 몇 개의 고립된 점으로 무너지지 않습니다. 이 도형은 무한히 층을 이루는 구조를 유지합니다. 계속해서 확대해 보아도 새로운 기하학적 관계를 발견할 수 있습니다. 즉, 면적과 구조적 복잡성은 별개의 문제입니다. 어떤 도형은 면적이 줄어들면서 동시에 구조적으로는 더 복잡해질 수 있습니다.

수학적으로 조금 더 깊이 알아보고 싶다면, 시에르핀스키 카펫의 프랙탈 차원은 log(8) / log(3) ≈ 1.893입니다. 그 이유는 각 단계에서 정사각형의 크기가 원래의 3분의 1로 축소되고, 그렇게 만들어진 작은 정사각형 8개가 남기 때문입니다. 따라서 8 = 3ᴰ이 성립하며, 이는 D = log(8) / log(3), 즉 약 1.893임을 의미합니다. 이 수치는 시에르핀스키 카펫이 일반적인 선보다는 훨씬 복잡하지만, 꽉 찬 2차원 평면처럼 '공간을 채우지는' 않는다는 사실을 보여줍니다.

단순히 패턴을 감상하고 싶다면 이 숫자를 이해할 필요는 없습니다. 하지만 이 숫자는 프랙탈이 어떻게 정수 차원(1차원 선, 2차원 평면, 3차원 공간 등) 사이의 기하학적 구조를 가질 수 있는지를 아름답게 보여줍니다.

아주 단순한 '수학적 기계'

시어핀스키 카펫(Sierpinski carpet)은 무작위로 구멍을 뚫어 만드는 것이 아닙니다. 만약 누군가 정사각형에 수많은 구멍을 무작위로 뚫는다면, 그 결과로 생기는 무늬는 복잡할지 몰라도 시어핀스키 카펫은 아닐 것입니다. 시어핀스키 카펫에 있는 모든 구멍은 특정한 위치와 크기, 그리고 계층적 단계를 가지고 있습니다. 이 모든 것은 하나의 동일한 규칙에서 비롯됩니다. 바로 3×3 격자로 나누고, 가운데를 제거한 뒤, 이 과정을 반복(재귀)하는 것입니다. 따라서 시어핀스키 카펫은 복잡해 보이지만, 그 안에는 깊은 질서가 존재합니다.

시어핀스키 카펫을 하나의 기계라고 상상해 볼 수 있습니다. 이 기계는 정사각형을 입력받아 다음과 같은 작업을 수행합니다. 정사각형을 9개의 부분으로 나누고 가운데를 제거합니다. 그다음, 남은 8개의 부분을 각각 9개로 나누고 그 가운데를 제거합니다. 그리고 이 과정을 계속해서 반복합니다.

시작부터 끝까지 기계는 규칙을 전혀 바꾸지 않습니다. 하지만 충분한 횟수만큼 반복하고 나면, 믿을 수 없을 만큼 복잡한 무늬가 만들어집니다.

이것이 바로 프랙탈(fractal)의 가장 매력적인 점입니다. 시어핀스키 카펫은 복잡한 '설계도'에 의존하지 않습니다. 컴퓨터에게 '여기에 큰 구멍을 뚫어라', '저기에 작은 구멍을 뚫어라', 혹은 '더 작은 구멍을 뚫어라'라고 지시하는 사람은 아무도 없습니다. 이 모든 세부 사항은 재귀적 규칙 그 자체에서 자연스럽게 생겨납니다. 우리는 그저 '매번 9개로 나누고 가운데 부분을 제거하라'고 명령하기만 하면 되며, 나머지는 수학에 맡기면 됩니다.

시어핀스키 카펫과 일반 카펫의 차이점은 무엇인가요?

일반 카펫은 빈틈없이 채워진 연속적인 2차원 평면입니다.

반면, 시어핀스키 카펫은 내부가 계속해서 비워지는 구조를 가집니다. 먼저 구멍을 하나 뚫고, 남은 영역에 다시 구멍을 뚫는 과정을 반복합니다. 그 결과 구멍의 개수는 늘어나고 구조는 점점 복잡해지지만, 이 과정을 지배하는 규칙은 단 하나뿐입니다.

시어핀스키 삼각형과는 어떻게 다른가요?

시어핀스키 삼각형을 보신 적이 있다면, 이 두 도형이 매우 비슷하다는 것을 금방 알 수 있을 것입니다. 두 도형은 단순한 도형 → 분할 → 일부 제거 → 남은 부분에 대한 반복 → 무한 재귀라는 공통된 과정을 거칩니다. 하지만 시작하는 도형의 모양은 서로 다릅니다.

시어핀스키 삼각형은 삼각형에서 시작합니다. 각 단계마다 더 작은 삼각형 4개로 나누고 가운데 삼각형을 제거하여 3개를 남기는 과정을 거치며, 그 개수는 1 → 3 → 9 → 27 → …의 수열을 따릅니다.

시어핀스키 카펫은 정사각형에서 시작합니다. 각 단계마다 더 작은 정사각형 9개로 나누고 가운데 정사각형을 제거하여 8개를 남기는 과정을 거치며, 그 개수는 1 → 8 → 64 → 512 → …의 수열을 따릅니다.

간단히 말해, 시어핀스키 삼각형은 삼각형에서 삼각형을 잘라내는 방식인 반면, 시어핀스키 카펫은 정사각형에서 정사각형을 잘라내는 방식입니다. 두 도형은 매우 유사한 재귀적 원리를 따르지만, 시작 도형과 분할 방법이 다르기 때문에 완전히 다른 프랙탈 세계를 만들어냅니다.

코흐 눈송이와는 어떻게 다른가요?

이 둘은 매우 흥미로운 대조를 이룹니다.

시어핀스키 카펫의 핵심 아이디어는 지속적인 제거입니다. 정사각형에서 시작하여 → 가운데를 잘라내고 → 계속해서 잘라내면 → 점점 더 많은 구멍이 생겨납니다.

반면, 코흐 눈송이의 핵심 아이디어는 지속적인 추가입니다. 선분에서 시작하여 → 바깥쪽으로 새로운 선분을 덧붙이고 → 계속해서 추가하면 → 가장자리가 점점 더 복잡해집니다.

즉, 시어핀스키 카펫은 안쪽으로 파고드는 방식인 반면, 코흐 눈송이는 바깥쪽으로 확장되는 방식이라고 생각할 수 있습니다. 생성 방식은 다르지만, 두 도형 모두 결국 단순하고 반복적인 규칙을 통해 무한히 복잡한 기하학적 구조를 만들어냅니다.

정사각형에서 무한한 세계로

이 모든 과정을 실제 카펫 위에서 작업한다고 상상해 보면, 마치 끊임없이 구멍을 뚫어내는 듯한 느낌을 받게 됩니다. 하나를 뚫고, 그다음엔 여덟 개, 예순네 개, 그리고 오백열두 개를 뚫는 식으로 말이죠...

구멍의 수는 늘어나고 크기는 줄어들며, 카펫의 표면적은 점차 감소합니다. 하지만 마지막 단계에 도달할 수는 없습니다. 왜냐하면 마지막 단계란 존재하지 않기 때문입니다. 과정이 계속되는 한, 언제나 그 뒤를 잇는 또 다른 단계가 존재하니까요. 이것이 바로 시에르핀스키 카펫이 가진 가장 매력적인 점입니다. 즉, 결코 완전히 비워낼 수 없는 카펫인 셈이죠.

시작은 단순합니다. 그저 평범한 정사각형(□) 하나로 출발하죠.

그런 다음 이를 아홉 개의 구역으로 나누고 가운데 부분을 제거합니다. 이어서 남은 여덟 개의 정사각형에도 똑같은 작업을 수행합니다. 그리고 또다시, 계속해서 반복하는 것이죠...

결국 단순했던 정사각형은 무한한 층위로 이루어진 프랙탈의 세계로 변모합니다.

이는 우리에게 중요한 사실을 일깨워줍니다. 복잡함이 반드시 정교한 설계에서 비롯되는 것은 아니라는 점입니다. 때로는 아주 단순한 규칙을 충분히 반복하는 것만으로도 복잡함이 탄생할 수 있습니다.

프랙탈의 세계를 계속 탐험해 보세요

시어핀스키 카펫(Sierpinski carpet)은 프랙탈의 세계에서 고전적인 구조물입니다.

단순한 규칙 → 지속적인 재귀 → 무한한 복잡성으로 이어지는 패턴을 좋아하신다면, 시어핀스키 삼각형도 살펴보세요. 정사각형 대신 삼각형에 '반복적으로 구멍을 파내는' 동일한 개념을 적용했을 때, 얼마나 완전히 다른 기하학적 구조가 만들어지는지 확인할 수 있습니다. 또는 코흐 눈송이(Koch snowflake)를 통해 단순한 선분이 새로운 세부 요소를 더해가며 어떻게 무한히 복잡한 수학적 눈송이 모양을 형성하는지 알아보세요. 평범한 직선이 단순한 생성 규칙에 따른 재귀와 접기 과정을 거쳐 복잡한 프랙탈 곡선으로 변하는 레비 C 곡선(Lévy C curve)도 흥미로울 것입니다. 마지막으로, 단순한 선을 반복적으로 접어 신비로운 용(dragon) 모양의 구조를 만들어내는 드래곤 곡선(Dragon curve)도 있습니다.

각각의 도형은 서로 다른 규칙을 따릅니다. 어떤 것은 덧셈을, 어떤 것은 뺄셈이나 접기, 혹은 타일링(tiling) 방식을 사용하죠. 하지만 이 모든 것은 프랙탈 세계의 가장 매혹적인 비밀 중 하나를 보여줍니다. 바로 아주 단순한 규칙이라도 충분히 반복되면 우리의 상상을 뛰어넘는 복잡한 구조를 만들어낼 수 있다는 사실입니다.

또한 더 놀라운 수학적 도형을 탐색하거나 위키백과에서 시에르핀스키 카펫에 대해 더 알아보세요.