Изучите ковер Серпинского
Ковер Серпинского: математический ковер, который становится всё более дырчатым
Если взять сплошной квадратный ковер:
□
А затем многократно повторять очень простое действие: делить его на девять одинаковых квадратов меньшего размера, удалять центральный квадрат и применять тот же процесс к каждому из оставшихся квадратов. Повторите это один, два, десять или даже бесконечное число раз. В итоге получится уже не обычный ковер, а удивительный фрактал — пронизанный отверстиями, с вложенными слоями и новыми структурами, открывающимися при любом увеличении: ковер Серпинского.
Всё начинается с квадрата
Отправная точка построения ковра Серпинского очень проста: это всего лишь один сплошной квадрат. На языке фрактальной геометрии это — исходная фигура. На данном этапе нет ни сложных структур, ни отверстий, ни текстур, ни фрактальных узоров — только цельный «математический ковер».
Шаг 1: Удаление центрального квадрата
Затем разделим этот квадрат на сетку 3 × 3, состоящую из девяти одинаковых квадратов меньшего размера — подобно полю для игры в крестики-нолики.
┌───┬───┬───┐
│ │ │ │
├───┼───┼───┤
│ │ │ │
├───┼───┼───┤
│ │ │ │
└───┴───┴───┘
Теперь удалим маленький квадрат, находящийся в самом центре. В результате образуется небольшое квадратное отверстие.
┌───┬───┬───┐
│ █ │ █ │ █ │
├───┼───┼───┤
│ █ │ │ █ │
├───┼───┼───┤
│ █ │ █ │ █ │
└───┴───┴───┘
Это первый шаг построения ковра Серпинского.
Вторая итерация: продолжаем удаление
Теперь у нас есть 8 маленьких квадратов. Повторим предыдущую операцию для каждого из этих 8 квадратов: разделим каждый квадрат на 9 частей и удалим центральную. Таким образом, из 1 квадрата получается 8, а значит, 8 квадратов превращаются в 64. На следующем шаге 64 квадрата превращаются в 512. И так далее: их число возрастает до 4096...
Это рекурсия
В основе ковра Серпинского лежит понятие рекурсии.
Идея на самом деле довольно проста: нужно взять только что выполненное действие и повторить его с новыми объектами.
На первом этапе вы вырезаете отверстие в целом квадрате. На втором этапе вы вырезаете отверстия в каждом из оставшихся восьми квадратов меньшего размера. На третьем этапе вы продолжаете, вырезая отверстия в каждом из оставшихся шестидесяти четырех еще более мелких квадратов... и так далее. Правило остается неизменным на протяжении всего процесса: разделить фигуру на девять частей и удалить центральную.
Давайте подсчитаем количество отверстий, появляющихся на каждом этапе.
На первом этапе появляется одно отверстие. На втором этапе возникают восемь новых отверстий, в результате чего их общее число достигает девяти. На третьем этапе появляются шестьдесят четыре новых отверстия, доводя общее количество до семидесяти трех. На четвертом этапе возникают пятьсот двенадцать новых отверстий, что дает в сумме пятьсот восемьдесят пять. Таким образом, количество видимых на изображении отверстий растет очень быстро.
После нескольких итераций узор начинает напоминать ковер, усеянный отверстиями. Эти отверстия возникают не случайно: хотя они различаются по размеру, их расположение подчиняется строгой закономерности. Внутри крупных отверстий находятся отверстия поменьше, а в них — еще более мелкие. Это выглядит как математический ковер с бесконечным количеством слоев — именно так и появилось название «ковер Серпинского».
Если посмотреть на узор целиком, то видишь огромный ковер. Однако, если увеличить любой из оставшихся маленьких квадратов, можно увидеть миниатюрную копию этого ковра. Увеличив изображение еще сильнее, вы снова увидите ту же картину. И при дальнейшем увеличении она никуда не исчезнет. Теоретически этот процесс может продолжаться бесконечно. Это свойство называется самоподобием.
Что такое «самоподобие»?
Понять это на самом деле довольно просто: целое выглядит так же, как его части.
Классический пример — ковер Серпинского. Весь ковер состоит из восьми структур поменьше, а каждая из этих структур, в свою очередь, образована восемью еще более мелкими элементами. Независимо от масштаба — крупного или мелкого — можно наблюдать схожие структуры.
Некоторые интересные вещи
Как меняется площадь ковра Серпинского?
Это удивительное математическое свойство ковра Серпинского. Изначально площадь составляет 100%. На первом шаге мы делим квадрат на девять квадратов меньшего размера и удаляем один из них, оставляя 8/9 (примерно 89%) от исходной площади. На втором шаге мы сохраняем 8/9 от оставшейся площади, в результате чего общая площадь становится равной (8/9)² (примерно 79%). На третьем шаге она составляет (8/9)³ (примерно 70%) и так далее. После *n* итераций оставшаяся площадь равна (8/9)ⁿ. По мере увеличения *n* это значение уменьшается. Следовательно, если повторять этот процесс бесконечно, площадь ковра Серпинского стремится к нулю.
Но ведь он выглядит таким «большим»?
Именно это и делает фракталы столь интересными. Вы видите на экране массивный, невероятно сложный узор, однако с точки зрения математических пределов его площадь стремится к нулю. Иными словами, структура, которая кажется невероятно «насыщенной» и замысловатой, на самом деле может иметь площадь, стремящуюся к нулю. Это математическое явление, которое совершенно не укладывается в рамки привычной интуиции.
Но она не превращается просто в "набор точек"
Хотя площадь ковра Серпинского стремится к нулю, он не схлопывается в несколько разрозненных точек. Он сохраняет бесконечно сложную, многоуровневую структуру. Можно бесконечно увеличивать масштаб и всякий раз находить новые геометрические закономерности. Таким образом, площадь и структурная сложность — это разные вещи. Фигура может уменьшаться по площади, одновременно становясь структурно более сложной
Если углубиться в математику, то фрактальная размерность ковра Серпинского составляет log(8) / log(3) ≈ 1,893. Почему? Потому что на каждом шаге квадрат уменьшается до одной трети от исходного размера, и мы сохраняем восемь таких уменьшенных квадратов. Следовательно, 8 = 3ᴰ, откуда D = log(8) / log(3) — примерно 1,893. Это число показывает, что ковёр Серпинского гораздо сложнее обычной линии, но при этом не "заполняет пространство" так, как сплошная двумерная плоскость
Если же вы хотите просто полюбоваться узором, вникать в это число не обязательно. Однако оно прекрасно иллюстрирует, как фракталы могут обладать геометрическими структурами, существующими в промежутке между целыми размерностями (такими как одномерная линия, двумерная плоскость или трехмерное пространство)
Очень простая «математическая машина»
Ковер Серпинского не создается путем случайного проделывания отверстий. Если бы кто-то стал хаотично вырезать множество отверстий в квадрате, получившийся узор, возможно, и был бы сложным, но это не был бы ковер Серпинского. У каждого отверстия в ковре Серпинского есть строго определенное местоположение, размер и иерархический уровень. Все они возникают на основе одного и того же правила: разделить фигуру на сетку 3×3, удалить центральный элемент и повторить процесс (рекурсия). Таким образом, хотя ковер Серпинского и выглядит сложным, в его основе лежит глубокий порядок.
Ковер Серпинского можно представить как своего рода машину. Эта машина берет квадрат и выполняет следующие операции: делит его на девять частей и удаляет центральную; затем берет оставшиеся восемь частей, делит каждую из них на девять и удаляет их центральные элементы; после чего продолжает, продолжает и продолжает действовать в том же духе...
От начала и до конца машина не меняет своего правила, однако после достаточного количества итераций она создает невероятно сложный узор.
В этом и заключается самая удивительная особенность фракталов. Ковер Серпинского не требует сложного «чертежа»; никто не дает компьютеру указаний вроде «нарисуй здесь большое отверстие», «нарисуй там отверстие поменьше» или «нарисуй здесь совсем крошечное отверстие». Все эти детали возникают из самого рекурсивного правила. Нам достаточно лишь задать команду: «Каждый раз делить на девять частей и удалять центральную», — а остальное предоставить математике.
В чем разница между ковром Серпинского и обычным ковром?
Обычный ковер представляет собой сплошную, непрерывную двумерную область.
В отличие от него, ковер Серпинского постепенно «вычищается» изнутри. Сначала вырезается одно отверстие. Затем дополнительные отверстия проделываются в оставшихся участках. Этот процесс повторяется... В результате количество отверстий растет, а структура становится все более сложной, однако весь процесс подчиняется всего одному правилу.
Чем это отличается от треугольника Серпинского?
Если вы видели треугольник Серпинского, то наверняка заметите, что эти две фигуры очень похожи. Их объединяет общий процесс: простая фигура → деление → удаление части → повторение действий с оставшимися частями → бесконечная рекурсия. Однако они строятся на основе разных исходных фигур.
Построение треугольника Серпинского начинается с треугольника; на каждом шаге он делится на четыре меньших треугольника, а центральный удаляется, оставляя три. Количество фигур меняется по следующей схеме: 1 → 3 → 9 → 27 → ….
Построение ковра Серпинского начинается с квадрата; на каждом шаге он делится на девять меньших квадратов, а центральный удаляется, оставляя восемь. Количество фигур меняется по следующей схеме: 1 → 8 → 64 → 512 → ….
Проще говоря: треугольник Серпинского образуется путем вырезания треугольников из треугольника, тогда как ковер Серпинского — путем вырезания квадратов из квадрата. В их основе лежат очень похожие рекурсивные принципы, но из-за различий в исходных фигурах и способах деления в итоге получаются совершенно разные фрактальные миры.
Чем она отличается от снежинки Коха?
Они представляют собой весьма интересный контраст.
В основе ковра Серпинского лежит принцип постоянного удаления. Начните с квадрата → вырежьте центральную часть → продолжайте вырезать → появляется всё больше и больше отверстий.
Напротив, в основе снежинки Коха лежит принцип постоянного добавления. Начните с отрезка → добавляйте новые отрезки, направленные наружу → продолжайте добавлять → края становятся всё более сложными.
Таким образом, можно сказать, что ковёр Серпинского формируется путём вырезания «вглубь», тогда как снежинка Коха разрастается наружу. Несмотря на различия в способах построения, в конечном счете обе фигуры представляют собой бесконечно сложные геометрические структуры, созданные на основе простых повторяющихся правил.
От квадрата к бесконечному миру
Если представить этот процесс как работу с настоящим ковром, то кажется, будто вы постоянно вырезаете в нем отверстия. Сначала одно, затем восемь, потом шестьдесят четыре, затем пятьсот двенадцать...
Отверстия множатся и уменьшаются в размерах, а площадь поверхности ковра неуклонно сокращается. И все же завершить этот процесс до конца невозможно — ведь последнего шага просто не существует. Пока процесс продолжается, за каждым этапом неизбежно следует следующий. В этом и заключается самая удивительная особенность ковра Серпинского: это ковер, который невозможно полностью «вырезать».
Все начинается просто: с □ — обычного квадрата.
Затем он делится на девять частей, и центральная из них удаляется. Далее та же операция применяется к оставшимся восьми квадратам. И снова. И еще раз...
В итоге простой квадрат превращается во фрактальный мир, состоящий из бесконечного множества слоев.
Это учит нас тому, что сложность не обязательно возникает из замысловатых узоров; иногда достаточно лишь очень простого правила, повторенного многократно.
Продолжайте исследовать мир фракталов
Ковер Серпинского — это классическая структура в мире фракталов.
Если вам нравится принцип простые правила → непрерывная рекурсия → бесконечная сложность, вы также можете изучить треугольник Серпинского и увидеть, как та же концепция «многократного вырезания отверстий» — примененная к треугольнику, а не к квадрату, — приводит к совершенно иной геометрической структуре. Или взгляните на снежинку Коха, чтобы увидеть, как простой отрезок обрастает новыми деталями, образуя бесконечно сложную математическую снежинку. Также стоит обратить внимание на C-кривую Леви: она демонстрирует, как обычная прямая линия в результате рекурсии и складывания (с помощью простого генератора) превращается в сложную фрактальную кривую. И наконец, существует кривая дракона, показывающая, как простая линия может многократно складываться, образуя загадочную структуру, напоминающую дракона.
Каждая из этих фигур подчиняется своим правилам: где-то используется сложение, где-то — вычитание, складывание или мозаичное заполнение. И все же все они раскрывают одну из самых удивительных тайн мира фракталов: очень простое правило при достаточном количестве повторений способно порождать сложные структуры, выходящие далеко за рамки нашего воображения.
Вы также можете изучить другие удивительные математические фигуры или посетить страницу Узнайте больше о ковре Серпинского в Википедии.