シェルピンスキーのカーペットを探索する

シェルピンスキーのカーペット：くり抜かれ続ける数学的なカーペット

一枚の完全な正方形のカーペットがあるとします：

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そして、毎回とても単純な操作を行います。それは、カーペットを9つの同じ大きさの小さな正方形に分け、中央の1つを取り除き、残ったそれぞれの正方形に対しても同じ操作を繰り返すというものです。1回、2回、10回、あるいは無限回にわたって。そうして最後に出来上がるのは、単なる普通のカーペットではありません。無数の穴が空き、幾重にも入れ子構造になり、どれだけ拡大しても新たな構造が見えてくる、不思議なフラクタル図形、それが「シェルピンスキーのカーペット」なのです。

すべては一つの正方形から始まる

シェルピンスキーのカーペットの出発点は非常にシンプルで、ただ一つの完全な正方形があるだけです。フラクタル構成の言葉で言えば、それが最初の「開始図形」となります。この段階では、複雑な構造も、穴も、模様も、フラクタル性もなく、ただ一枚の完全な「数学的カーペット」が存在するだけです。

1回目：中央の正方形を取り除く

次に、この正方形を縦横3等分し、3 × 3 = 9個の全く同じ小さな正方形に分割します。ちょうど「九宮格（3×3のマス目）」のような形です。

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ここで、中央にある小さな正方形を取り除きます。すると、小さな正方形の穴が現れます。

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これがシェルピンスキーのカーペットの最初のステップです。

2回目：さらにくり抜く

今、8つの小さな正方形が残っています。そこで、これら8つの正方形それぞれに対して、先ほどと同じ操作を繰り返します。つまり、各正方形を9つに分割し、中央の1つを取り除きます。すると、1つの正方形が8つになり、結果として8つの正方形は合計64個の正方形になります。その次は64個が512個になり、さらに続いて4096個になり……

これぞ再帰

シェルピンスキーのカーペットの核心は「再帰」にあります。

その意味は実に単純です。「さっき行った操作を、新しい対象に対してもう一度行う」ということです。

1回目は、正方形全体に穴を1つ開けます。2回目は、残った8つの小さな正方形それぞれに穴を開けます。3回目は、さらに残った64個の小さな正方形それぞれに穴を開けていきます……。ルールは最初から最後まで変わらず、常に「9つに分割し、中央の1つを取り除く」というものです。

では、回を追うごとに増えていく穴の数を計算してみましょう。

1回目は穴が1つ。2回目は新たに8つの穴が加わり、合計9つになります。3回目は新たに64個の穴が加わり、合計73個になります。4回目は新たに512個の穴が加わり、合計585個になります。つまり、画面上で目にする穴の数は、非常に急速に増えていくのです。

このパターンを何度か繰り返すと、無数の穴が開いたカーペットのように見えてきます。しかも、これらの穴はランダムに現れるわけではありません。大きさは異なりますが、非常に規則正しく並んでいます。大きな穴の中に小さな穴があり、その小さな穴の中にはさらに小さな穴があります。そのため、まるで無限の階層を持つ数学的なカーペットのように見えるのです。これが「シェルピンスキーのカーペット」という名前の由来です。

全体を見ると、そこには巨大なカーペットがあります。しかし、残された小さな正方形のどれか一つを拡大してみると、そこには縮小版のカーペットが現れます。さらに拡大しても、また同じものが見えます。理論上、このプロセスは無限に続けることができます。これこそが「自己相似」なのです。

「自己相似性」とは？

実はとてもシンプルです。全体が部分と似ているということです。

シェルピンスキーのカーペットがその典型的な例です。カーペット全体は、より小さな8つのカーペット構造から構成されています。そして、その小さなカーペットの一つひとつも、さらに小さな8つのカーペットから成り立っています。つまり、大きなスケールで見ても小さなスケールで見ても、似たような構造が見て取れるのです。

興味深いトピック

シェルピンスキーのカーペットの面積はどう変化するのでしょうか？

これはシェルピンスキーのカーペットが持つ、非常に興味深い数学的性質です。最初は面積＝100%です。1回目の操作で正方形を9つに分割し、そのうちの1つを取り除くため、残りは8/9（約89%）になります。2回目には、残った領域のさらに8/9が維持されるため、全体の面積は(8/9)²（約79%）になります。3回目には(8/9)³（約70%）……となります。n回の反復操作を経ると、残りの面積は(8/9)ⁿとなります。nが大きくなるにつれて、この数値はどんどん小さくなっていきます。つまり、無限に繰り返すと、シェルピンスキーのカーペットの面積は0に近づくのです。

それなのに、見た目はこんなに「大きい」ままなのはなぜでしょうか？

これこそが、フラクタル（自己相似図形）の非常に面白い点です。画面上では巨大で非常に複雑な模様が見えていますが、数学的な極限で見ると、その面積は0に近づいているのです。言い換えれば、見た目は非常に「豊か」な構造をしていても、面積はゼロに近づき得るということです。これは直感に反するような、数学的な現象なのです。

しかし、単なる「点の集まり」になってしまうわけではありません

面積は0に近づきますが、シェルピンスキーのカーペットは単にいくつかの孤立した点になってしまうわけではありません。依然として無限の階層構造を持っています。拡大し、さらに拡大し、どこまでも拡大していくと、新たな幾何学的な関係を発見することができます。つまり、面積と構造の複雑さは別物なのです。図形は、面積が小さくなりながら、同時に構造が複雑になっていくこともあり得るのです。

もう少し数学的に深く掘り下げてみると、シェルピンスキーのカーペットのフラクタル次元は log(8) / log(3) ≈ 1.893 であることがわかります。なぜでしょうか？それは、操作のたびに正方形が元の1/3のサイズに縮小され、同時にその正方形が8つ維持されるからです。したがって、8 = 3ᴰ、したがって D = log(8) / log(3) となり、その値はおよそ 1.893 です。この数値が示しているのは、シェルピンスキーのカーペットは通常の線よりもはるかに複雑であるものの、完全な2次元平面ほどには「空間を埋め尽くして」はいないということです。

単に模様を鑑賞したいだけであれば、この数値を理解する必要は全くありません。しかし、これは フラクタルが、整数の次元（例えば、1次元の直線、2次元の平面、3次元の立体空間など）の中間に位置するような幾何学的構造を持ち得るということを、実によく示しています。

極めてシンプルな「数学的マシン」

シェルピンスキーのカーペットは、ランダムに穴を開けたものではありません。もし人が正方形にランダムにたくさんの穴を開けたとしたら、出来上がる模様は確かに複雑なものになるかもしれませんが、それはシェルピンスキーのカーペットではありません。シェルピンスキーのカーペットにある一つひとつの穴には、それぞれ決まった位置、大きさ、そして階層があります。それらはすべて、「3×3に分割し、中央を取り除き、再帰的に繰り返す」という一つのルールから生まれています。ですから、シェルピンスキーのカーペットは複雑に見えても、そこには非常に強固な秩序が存在しているのです。

シェルピンスキーのカーペットを、ある「マシン（機械）」だと想像してみてください。そのマシンは正方形を受け取ると、次のような操作を行います。まず9つに分割し、中央を取り除く。次に、残った8つのそれぞれについて、再び9つに分割し、中央を取り除く。そして、そのプロセスを延々と繰り返していくのです……。

マシンは最初から最後までルールを一切変えません。しかし、十分に多くの反復を経ることで、極めて複雑な模様を作り出すのです。

これこそが、フラクタルの最も魅力的な点です。シェルピンスキーのカーペットには、複雑な「設計図」など存在しません。コンピュータに対して「ここに大きな穴を開けろ」「あそこに小さな穴を開けろ」「ここにはさらに小さな穴を……」などと指示する人は誰もいないのです。そうした細部はすべて、再帰的なルールそのものによって生み出されるのです。私たちがすべきことは、ただ「9つに分割し、中央のものを取り除く」と指示することだけ。あとはすべて、数学に任せればよいのです。

シェルピンスキーのカーペットと普通のカーペットには、どのような違いがあるのでしょうか？

普通のカーペットは、ひと続きの完全な2次元の領域です。

一方、シェルピンスキーのカーペットは、その内部を次々とくり抜いていきます。まず1回目に穴を1つ開け、2回目には残った領域をさらにくり抜き、3回目も同様にくり抜いていきます……。その結果、穴の数は増え続け、構造はますます複雑になっていきますが、そのルールは終始ただ一つなのです。

シェルピンスキーのギャスケット（三角形）と何が違うのでしょうか？

シェルピンスキーのギャスケット（三角形）をご覧になったことがあれば、これら二つの図形が非常によく似ていることにお気づきでしょう。共通しているのは、単純な図形 → 分割 → 一部を取り除く → 残った部分に同じ操作を繰り返す → 無限の再帰というプロセスです。しかし、出発点となる図形が異なります。

シェルピンスキーのギャスケットは三角形から始まり、毎回4つの小さな三角形に分割して中央の1つを取り除き、3つを残します。その変化の過程は 1 → 3 → 9 → 27 → … となります。

シェルピンスキーのカーペットは正方形から始まり、毎回9つの小さな正方形に分割して中央の1つを取り除き、8つを残します。その変化の過程は 1 → 8 → 64 → 512 → … となります。

簡単に比較すると、シェルピンスキーのギャスケットは三角形の中から三角形をくり抜くのに対し、シェルピンスキーのカーペットは正方形の中から正方形をくり抜くという違いがあります。どちらも非常によく似た再帰的な考え方を用いていますが、出発点となる図形や分割方法が異なるため、最終的には全く異なるフラクタル図形が形成されるのです。

コッホの雪片とは何が違うのでしょうか？

これらには、非常に興味深い対比があります。

シェルピンスキーのカーペットの核心は、「取り除く」ことの繰り返しです。正方形から始まり → 中央をくり抜き → さらにくり抜きを続け → 次々と穴が増えていきます。

一方、コッホの雪片の核心は、「付け加える」ことの繰り返しです。1本の辺から始まり → 外側へ新しい線分を付け加え → さらに付け加え続け → 縁（ふち）がどんどん複雑になっていきます。

つまり、シェルピンスキーのカーペットは内側をくり抜いていくもの、コッホの雪片は外側へ成長していくもの、と考えることができます。生成方法は異なりますが、どちらも単純なルールの繰り返しによって、最終的に無限に複雑な幾何学的構造を作り出すという点は共通しています。

一つの正方形から、無限の世界へ

そのプロセス全体を本物のカーペットだと想像してみると、あなたは絶えず穴を掘り続けているようなものです。一つ掘り、次に八つ掘り、さらに六十四個、そして五百十二個……と。

穴は増え続け、一つひとつの穴は小さくなり、カーペットの面積は減っていきます。しかし、最後の工程を完全に終えることは決してできません。なぜなら、「最後」など存在しないからです。続けられる限り、次の階層があるのです。これこそがシェルピンスキーのカーペットの最も魅力的な点であり、それは永遠に掘り終わることのないカーペットなのです。

最初は、□、ただの普通の正方形でした。

そして、9つに分割し、中央の正方形をくり抜きます。次に、残った8つの正方形に対して同じことを繰り返します。さらに続け、また続け……。

やがて、単純な正方形は、無限の階層を持つフラクタルな世界へと姿を変えるのです。

それは私たちにこう教えてくれます。複雑さは必ずしも複雑なデザインから生まれるわけではありません。時には、ごく単純なルールを十分に何度も繰り返すだけでよいのです。

フラクタル世界の探求を続ける

シェルピンスキーのカーペットは、フラクタル世界における非常に典型的な構造の一つです。

もし「単純なルール → 再帰的な繰り返し → 無限の複雑さ」というプロセスがお好きなら、さらに他の図形も探求してみましょう。例えば、シェルピンスキーの三角形では、「穴を開け続ける」という同じ考え方を正方形から三角形に適用することで、全く異なる幾何学的構造が生まれる様子を観察できます。あるいはコッホの雪片では、単純な辺に新たなディテールが次々と加わり、無限に複雑な数学的雪片へと変化していく過程が見られます。また、レヴィC曲線では、普通の直線が単純な生成規則によって再帰的に折り畳まれ、複雑なフラクタル曲線へと進化する様子を、ドラゴン曲線では、単純な線が折り畳みを繰り返すことで、神秘的なドラゴンのような構造へと変化していく様子を楽しめます。

それぞれのルールは異なります――あるものは要素を加え、あるものは削除し、あるものは折り畳み、あるものは敷き詰めていきます。しかし、それらはすべてフラクタル世界の最も魅力的な秘密の一つを物語っています。それは、「非常に単純なルールであっても、十分に繰り返すことで、想像をはるかに超える複雑な構造を生み出せる」ということです。

他にも素晴らしい数学的図形を鑑賞したり、ウィキペディアでシェルピンスキーのカーペットに関する詳細を見る。