Explora el atractor de De Jong
Cuatro números crean innumerables patrones matemáticos
Si te pidieran crear una pintura abstracta, tal vez necesitarías pinceles, pinturas y colores; y probablemente tardarías mucho tiempo en terminarla.
Pero si te dijera que esta pintura solo requiere cuatro números, es posible que no lo creyeras.
El atractor de De Jong es una de esas fascinantes figuras matemáticas. Comienza con un único punto que se mueve continuamente siguiendo un conjunto fijo de reglas matemáticas; todo el proceso está regido principalmente por cuatro parámetros: a, b, c y d.
Con solo ajustar estos cuatro números, el patrón original puede transformarse en algo completamente distinto: a veces asemejándose al humo, a las nubes o a la tinta, y otras veces pareciendo seda finamente entretejida.
Este es el aspecto más cautivador del atractor de De Jong: cuatro números pueden abrir un mundo de patrones matemáticos lleno de posibilidades infinitas.
Olvida las fórmulas por ahora
Cuando te encuentras por primera vez con un atractor de De Jong, no es necesario conocer las fórmulas matemáticas subyacentes.
Imagina simplemente un punto en un lienzo, situado en una ubicación específica. Las reglas matemáticas observan su posición y luego le dan la instrucción: «Ve aquí a continuación».
El punto se mueve. Al llegar a la nueva ubicación, las reglas vuelven a calcular: «Ve aquí a continuación».
Así que se mueve de nuevo. Luego calcula y se mueve una vez más, repitiendo el proceso sin fin.
Paso 1: Punto → Calcular → Mover
Paso 2: Punto → Calcular → Mover
Paso 3: Punto → Calcular → Mover
...
Al principio, es posible que no veas nada, solo unos pocos puntos dispersos.
Pero a medida que los cálculos se acumulan y la trayectoria se va formando, surge gradualmente un patrón complejo.
No se genera al azar
Llegados a este punto, tal vez te preguntes: «¿No es esto simplemente ruido generado aleatoriamente?»
En realidad, no. Cada paso del atractor de De Jong está determinado por reglas específicas. Si la posición inicial, los parámetros y las reglas de cálculo son idénticos, el resultado final también lo será.
Por tanto, no se trata de dispersar puntos al azar; más bien, el punto se desplaza de forma continua siguiendo unas reglas. Esa es la diferencia clave respecto al ruido aleatorio convencional.
Pero ¿por qué parece tan «aleatorio»?
Eso es precisamente lo que lo hace interesante.
Un único punto realiza una acción muy sencilla: calcula su siguiente posición a partir de la actual.
Sin embargo, este proceso se repite miles y miles de veces, de modo que el resultado de un paso sirve como dato de entrada para el siguiente. Así, el primer paso influye en el segundo, el segundo en el tercero, y así sucesivamente... Tras cientos de miles de cálculos, unas reglas simples pueden dar lugar a estructuras globales increíblemente complejas.
En definitiva, los patrones complejos no requieren necesariamente reglas complejas. A veces, basta con repetir una regla sencilla las veces suficientes.
Cuatro números: cuatro «controles»
Uno de los aspectos más fascinantes del atractor de De Jong es su sencillez en cuanto a los parámetros. Hay cuatro principales: a, b, c y d.
Puedes imaginarlos como cuatro controles o diales. Si giras uno, cambia la forma en que se mueve el punto. Al cambiar el movimiento, varía la trayectoria resultante. Y así, sin más: el patrón cambia.
¿Qué sucede si cambias un solo número?
Este es un experimento que vale la pena probar por ti mismo.
Primero, selecciona un conjunto de parámetros y toma nota del patrón actual. Luego, modifica solo 'a' —dejando intactos los otros tres números— y regenera la imagen. Es posible que descubras que el patrón original ha cambiado significativamente.
A continuación, devuelve 'a' a su valor original y modifica solo 'b'; obtendrás una estructura diferente.
En este punto, te darás cuenta de algo: Modificaste un solo número y, sin embargo, cambiaste todo el universo matemático.
¿Por qué estos cuatro números tienen tanto poder?
Porque no dictan instrucciones directas como «Dibuja una línea aquí» o «Dibuja un círculo allá». En su lugar, alteran la forma en que el punto se mueve a continuación. Dado que la posición del siguiente paso determina la posición del paso posterior, la influencia de los parámetros se propaga continuamente.
Puedes visualizarlo de forma sencilla: Cambio de parámetro → Cambio en el movimiento → Cambio en la siguiente posición → Cambio en cada paso posterior → Cambio en la trayectoria final → Cambio en todo el patrón.
Este es el proceso generativo fundamental del atractor de De Jong.
Parece una nube, pero nadie está dibujando nubes
Los atractores de De Jong suelen producir efectos visuales suaves: masas de puntos que se agrupan formando áreas de densidad variable; algunas regiones están densamente pobladas, mientras que otras son más dispersas.
Como resultado, vemos formas que recuerdan a ☁️ nubes o niebla, 🖋️ salpicaduras de tinta, 🌀 remolinos, 🎗️ cintas, 🌫️ humo, etcétera.
Sin embargo, ninguna de estas formas está especificada explícitamente por la fórmula matemática; la fórmula nunca dice: «Dibuja una nube ahora». Simplemente calcula de forma continua: «¿A dónde voy ahora?». El patrón similar a una nube es simplemente el resultado natural de superponer innumerables movimientos simples.
Esta es la diferencia clave entre un atractor de De Jong y una imagen convencional
Una imagen convencional, por compleja que parezca, consiste esencialmente en píxeles preexistentes.
Los atractores de De Jong son diferentes. El patrón que ves surge gradualmente durante el proceso de cálculo; es más bien como una imagen creada por las matemáticas.
Por eso, cuando haces clic en «regenerar», no te limitas a cambiar una imagen por otra de una galería: estás ejecutando de nuevo las reglas matemáticas.
Por eso también es perfecto para la exploración personal
Puede que conozcas las reglas de antemano, pero no necesariamente sabes qué patrón surgirá a continuación.
Es muy parecido a abrir una caja sorpresa: eliges un conjunto de parámetros, haces clic en generar y luego ves qué te ofrecen las matemáticas.
A veces el resultado es corriente, otras veces es de una belleza impresionante y, en ocasiones, obtienes incluso una estructura que jamás habrías imaginado.
De los patrones a las matemáticas
Ahora sabemos que un atractor de De Jong es un punto en movimiento constante. Entonces, ¿cuál es la matemática que hay detrás?
Por lo general, emplea las dos siguientes relaciones de recurrencia:
xn+1 = sin(ayn) - cos(bxn)
yn+1 = sin(cxn) - cos(dyn)
Puede parecer intimidante a primera vista, pero lo que expresa es, en realidad, bastante sencillo.
La primera fórmula: Calcula el siguiente valor de x basándose en los valores actuales de x e y.
La segunda fórmula: Calcula el siguiente valor de y basándose en los valores actuales de x e y.
Esto genera nuevos valores de x e y.
Luego, se introducen de nuevo los nuevos valores de x e y en las fórmulas para continuar el cálculo, repitiendo el proceso.
Y así, un único punto se transforma en una imagen.
Todo el proceso puede resumirse así: Un punto → calcular el siguiente paso → moverse → calcular de nuevo → moverse de nuevo → repetir muchas, muchas veces → dejar tras de sí una multitud de trayectorias → formar un patrón complejo.
Eso es el atractor de De Jong. No indica explícitamente: «Esto es lo que voy a dibujar». Solo dicta: «Cómo pasar al siguiente paso». El patrón final surge de forma natural a partir de la acumulación de estos movimientos a largo plazo.
¿Por qué se le llama «atractor»?
Puedes visualizarlo de esta manera: tras moverse durante un largo periodo, el punto queda confinado a las proximidades de una estructura específica.
El punto nunca se detiene; sigue en movimiento. Sin embargo, no se aleja indefinidamente hacia el infinito; a largo plazo, su trayectoria se concentra en una región y estructura concretas. Cuando estas numerosas trayectorias se superponen, observamos el atractor.
Por tanto, lo que vemos no es una imagen estática y prediseñada, sino las «huellas» que deja el movimiento a largo plazo de un sistema dinámico.
¿Cuáles son las diferencias entre los diferentes atractores?
Sigue explorando el mundo de las matemáticas
El atractor de De Jong es un ejemplo excelente, dentro del ámbito de los atractores, para explorar cómo la modificación de los parámetros altera el resultado.
Si disfrutas de la experiencia de «ajustar algunos números para ver qué crean las matemáticas», tal vez quieras explorar el atractor de Clifford.
Si prefieres observar el movimiento en un espacio tridimensional, prueba el atractor de Aizawa.
Si te interesan el caos, la predicción meteorológica y el efecto mariposa, explora el atractor de Lorenz.
Todos pertenecen al mundo de los atractores, pero cada uno posee un carácter distintivo: el atractor de Clifford (los parámetros crean arte abstracto), el atractor de De Jong (los parámetros crean texturas matemáticas), el atractor de Aizawa (las reglas crean estructuras en 3D) y el atractor de Lorenz (las reglas crean caos y una mariposa matemática).
Lo que hace que el atractor de De Jong sea especialmente memorable son esos cuatro números aparentemente corrientes: a, b, c y d. Pueden parecer simples parámetros, pero un ligero cambio en ellos puede revelar un mundo matemático completamente distinto.
Sigue explorando más patrones matemáticos fascinantes.