Explorez l'attracteur de De Jong
Quatre nombres créent d'innombrables motifs mathématiques
Si l'on vous demandait de créer une peinture abstraite, vous auriez peut-être besoin de pinceaux, de peintures et de couleurs — et il vous faudrait probablement beaucoup de temps pour la terminer.
Mais si je vous disais que cette peinture ne nécessite que quatre nombres, vous auriez peut-être du mal à le croire.
L'attracteur de De Jong est l'une de ces figures mathématiques fascinantes. Tout commence par un point unique qui se déplace en continu selon un ensemble fixe de règles mathématiques ; l'ensemble du processus est régi principalement par quatre paramètres : a, b, c et d.
Il suffit de modifier légèrement ces quatre nombres pour que le motif initial se transforme en quelque chose de totalement différent : évoquant parfois de la fumée, des nuages ou de l'encre, et ressemblant à d'autres moments à de la soie finement entrelacée.
C'est l'aspect le plus captivant de l'attracteur de De Jong : quatre nombres peuvent ouvrir la voie à un univers de motifs mathématiques aux possibilités infinies.
Oubliez les formules pour l'instant
Lorsque vous découvrez un attracteur de De Jong, il n'est pas nécessaire de connaître les formules mathématiques sous-jacentes.
Imaginez simplement un point sur une toile, situé à un endroit précis. Les règles mathématiques observent sa position puis lui donnent une instruction : « Va ici ensuite. »
Le point se déplace. Une fois arrivé à ce nouvel emplacement, les règles effectuent un nouveau calcul : « Va ici ensuite. »
Il se déplace donc à nouveau. Puis, il calcule et se déplace encore une fois, répétant le processus indéfiniment.
Étape 1 : Point → Calcul → Déplacement
Étape 2 : Point → Calcul → Déplacement
Étape 3 : Point → Calcul → Déplacement
...
Au début, vous ne verrez peut-être rien, si ce n'est quelques points éparpillés.
Mais à mesure que les calculs s'accumulent et que la trajectoire se dessine, un motif complexe finit par émerger progressivement.
Ce n'est pas généré aléatoirement
À ce stade, vous vous demandez peut-être : « Ne s'agit-il pas simplement d'un bruit généré au hasard ? »
En fait, non. Chaque étape de l'attracteur de De Jong est régie par des règles précises. Si la position initiale, les paramètres et les règles de calcul sont identiques, le résultat final le sera aussi.
Il ne s'agit donc pas de disperser des points au hasard ; le point se déplace de manière continue en suivant des règles. C'est là toute la différence avec un bruit aléatoire ordinaire.
Mais pourquoi cela semble-t-il si « aléatoire » ?
C'est précisément ce qui le rend intéressant.
Un point unique effectue une action très simple : il calcule sa position suivante à partir de sa position actuelle.
Cependant, ce processus se répète des milliers de fois, le résultat d'une étape servant de point de départ à la suivante. Ainsi, la première étape influence la seconde, la seconde influence la troisième, et ainsi de suite... Après des centaines de milliers de calculs, des règles simples peuvent engendrer des structures globales d'une complexité incroyable.
En somme, des motifs complexes ne nécessitent pas forcément des règles complexes. Parfois, il suffit de répéter une règle simple un nombre suffisant de fois.
Quatre nombres, quatre « cadrans »
L'un des aspects les plus fascinants de l'attracteur de De Jong réside dans la simplicité de ses paramètres. Il en existe quatre principaux : a, b, c et d.
Imaginez-les comme quatre cadrans. Tournez-en un, et le mode de déplacement du point change. À mesure que le mouvement évolue, la trajectoire résultante se modifie. Et voilà : le motif change.
Que se passe-t-il si l'on modifie un seul nombre ?
C'est une expérience qui vaut vraiment la peine d'être tentée.
Tout d'abord, choisissez un ensemble de paramètres et observez le motif actuel. Ensuite, modifiez uniquement la valeur « a » — sans toucher aux trois autres nombres — et régénérez l'image. Vous constaterez peut-être que le motif initial a considérablement changé.
Puis, rétablissez la valeur initiale de « a » et modifiez uniquement « b » ; vous obtiendrez une structure différente.
À ce stade, vous réaliserez ceci : vous n'avez modifié qu'un seul nombre, et pourtant, vous avez changé tout l'univers mathématique.
Pourquoi ces quatre nombres ont-ils un tel pouvoir ?
Parce qu'ils ne dictent pas directement des instructions telles que « tracez une ligne ici » ou « dessinez un cercle là ». Au lieu de cela, ils modifient la manière dont le point se déplace ensuite. Comme la position de l'étape suivante détermine celle de l'étape d'après, l'influence des paramètres se propage en continu.
On peut résumer le processus ainsi : Modification du paramètre → Changement de mouvement → Changement de la position suivante → Changement de toutes les étapes ultérieures → Changement de la trajectoire finale → Changement du motif global.
C'est le cœur du processus génératif de l'attracteur de De Jong.
Cela ressemble à un nuage, et pourtant personne ne dessine de nuages
Les attracteurs de De Jong produisent souvent des effets visuels tout en douceur : des amas de points se regroupent pour former des zones de densités variables — certaines régions sont très denses, tandis que d'autres sont plus clairsemées.
Ainsi, on voit apparaître des formes évoquant ☁️ des nuages ou de la brume, 🖋️ des éclaboussures d'encre, 🌀 des tourbillons, 🎗️ des rubans, 🌫️ de la fumée, etc.
Pourtant, aucune de ces formes n'est explicitement définie par la formule mathématique ; la formule ne dit jamais « Dessine un nuage maintenant ». Elle se contente de calculer en continu : « Où dois-je aller ensuite ? » Le motif évoquant un nuage n'est que le résultat naturel de la superposition d'innombrables mouvements simples.
C'est la différence fondamentale entre un attracteur de De Jong et une image ordinaire
Une image ordinaire, aussi complexe qu'elle puisse paraître, se compose essentiellement de pixels préexistants.
Les attracteurs de De Jong sont différents. Le motif que vous voyez émerge progressivement au cours du calcul ; cela s'apparente davantage à une image dessinée par les mathématiques.
Ainsi, lorsque vous cliquez sur « régénérer », vous ne vous contentez pas de remplacer une image par une autre issue d'une galerie : vous réexécutez les règles mathématiques.
C'est aussi ce qui en fait un outil idéal pour une exploration personnelle
Des motifs aux mathématiques
Nous savons désormais que l'attracteur de De Jong est un point en mouvement perpétuel. Alors, quelles mathématiques se cachent derrière lui ?
Il repose généralement sur les deux relations de récurrence suivantes :
xn+1 = sin(ayn) - cos(bxn)
yn+1 = sin(cxn) - cos(dyn)
Cela peut sembler intimidant au premier abord, mais le concept exprimé est en réalité assez simple.
La première formule : Calculer la prochaine valeur de x à partir des valeurs actuelles de x et y.
La seconde formule : Calculer la prochaine valeur de y à partir des valeurs actuelles de x et y.
On obtient ainsi de nouvelles valeurs pour x et y.
Ensuite, on réinjecte ces nouvelles valeurs dans les formules pour poursuivre le calcul et répéter le processus.
C'est ainsi qu'un simple point se transforme en une image.
L'ensemble du processus peut se résumer ainsi : un point → calcul de l'étape suivante → déplacement → nouveau calcul → nouveau déplacement → répétition de l'opération un grand nombre de fois → accumulation d'une multitude de traces → formation d'un motif complexe.
Tel est l'attracteur de De Jong. Il ne dit pas explicitement : « Voici ce que je vais dessiner. » Il dicte simplement : « Comment passer à l'étape suivante. » Le motif final émerge naturellement de l'accumulation, sur le long terme, de ces déplacements.
Pourquoi appelle-t-on cela un « attracteur » ?
On peut voir les choses ainsi : après s'être déplacé pendant une longue période, un point finit par rester confiné au voisinage d'une structure spécifique.
Le point ne s'arrête pas ; il continue de bouger. Pourtant, il ne s'éloigne pas indéfiniment vers l'infini ; à long terme, sa trajectoire se concentre au sein d'une région et d'une structure précises. Lorsque l'on superpose un grand nombre de ces trajectoires, on voit apparaître l'attracteur.
Ainsi, ce que nous voyons n'est pas une image statique préconçue, mais l'« empreinte » laissée par le mouvement à long terme d'un système dynamique.
En quoi les différents attracteurs diffèrent-ils par leur apparence ?
Il existe de nombreux types d'attracteurs, et ils n'ont pas tous la même apparence.
Par exemple : l'attracteur de Lorenz ressemble à un papillon mathématique évoluant dans un espace en 3D.
L'attracteur d'Aizawa évoque une structure spatiale complexe en 3D.
L'attracteur de Clifford produit souvent des textures abstraites et complexes.
Quant à l'attracteur de De Jong, il excelle dans la création de textures mathématiques douces, fines et riches en superpositions.
Ainsi, comparé aux autres attracteurs, l'attracteur de De Jong offre une approche différente : utiliser quatre nombres pour découvrir de nouvelles textures.
Continuez à explorer le monde des mathématiques
L'attracteur de De Jong est un exemple parfait, au sein de la famille des attracteurs, pour découvrir comment la modification des paramètres transforme le résultat.
Si vous aimez « ajuster quelques nombres pour voir ce que les mathématiques créent », vous devriez explorer l' attracteur de Clifford.
Si vous préférez observer le mouvement dans un espace en trois dimensions, essayez l' attracteur d'Aizawa.
Si le chaos, la prévision météorologique et l'effet papillon vous intéressent, explorez l' attracteur de Lorenz.
Ils appartiennent tous au monde des attracteurs, mais chacun possède un caractère unique : l'attracteur de Clifford (les paramètres créent de l'art abstrait), l'attracteur de De Jong (les paramètres créent des textures mathématiques), l'attracteur d'Aizawa (les règles créent des structures en 3D) et l'attracteur de Lorenz (les règles créent du chaos et un papillon mathématique).
Ce qui rend l'attracteur de De Jong particulièrement mémorable, ce sont ces quatre nombres apparemment ordinaires : a, b, c et d. Ils peuvent sembler n'être que de simples paramètres, mais une légère modification peut révéler un univers mathématique totalement différent.
Continuez à explorer d'autres motifs mathématiques fascinants.