네 개의 숫자가 만들어내는 수많은 수학적 패턴

추상화를 그리려면 붓, 물감, 색상 같은 도구가 필요하며, 완성하기까지 꽤 오랜 시간이 걸릴 것입니다.

하지만 단 네 개의 숫자만으로 이 그림을 그릴 수 있다고 한다면, 아마 믿기 어려우실 겁니다.

드 용(De Jong) 끌개(attractor)가 바로 그런 매혹적인 수학적 형태 중 하나입니다. 이는 고정된 수학적 규칙에 따라 끊임없이 움직이는 하나의 점으로 시작되는데, 이 전체 과정은 주로 a, b, c, d라는 네 가지 매개변수에 의해 결정됩니다.

이 네 개의 숫자를 살짝 바꾸는 것만으로도 원래의 패턴은 완전히 다른 모습으로 변합니다. 때로는 연기나 구름, 혹은 먹물처럼 보이기도 하고, 또 때로는 정교하게 얽힌 비단처럼 보이기도 합니다.

이것이 바로 드 용 끌개의 가장 매력적인 점입니다. 단 네 개의 숫자가 무한한 가능성을 지닌 수학적 패턴의 세계를 열어주는 것입니다.

복잡한 공식은 잠시 잊으세요

드 용 끌개를 처음 접할 때, 그 바탕이 되는 수학 공식을 굳이 알 필요는 없습니다.

그저 캔버스 위의 특정 위치에 있는 점 하나를 상상해 보세요. 수학적 규칙이 그 점의 위치를 파악한 뒤 이렇게 지시합니다. '다음엔 여기로 가.'

그러면 점이 움직입니다. 새로운 위치에 도달하면 규칙이 다시 계산을 수행합니다. '다음엔 여기로 가.'

점은 다시 움직입니다. 그리고 또다시 계산하고 움직이는 과정을 끝없이 반복합니다.

1단계: 점 → 계산 → 이동

2단계: 점 → 계산 → 이동

3단계: 점 → 계산 → 이동

...

처음에는 아무것도 보이지 않을 수 있습니다. 그저 흩어져 있는 몇 개의 점만 보일 뿐이죠.

하지만 계산이 쌓이고 이동 경로가 축적되면서, 점차 복잡하고 정교한 패턴이 모습을 드러내기 시작합니다.

무작위로 생성된 것이 아닙니다

이쯤 되면 이런 의문이 들 수도 있습니다. “이건 그냥 무작위로 생성된 노이즈 아닌가요?”

사실은 그렇지 않습니다. 드 용(De Jong) 어트랙터의 모든 단계는 특정 규칙에 따라 결정됩니다. 초기 위치, 매개변수, 계산 규칙이 동일하다면 최종 결과도 똑같이 나옵니다.

즉, 점을 무작위로 흩뿌리는 것이 아니라 규칙에 따라 연속적으로 움직이는 것입니다. 이것이 일반적인 무작위 노이즈와 구별되는 핵심적인 차이점입니다.

그런데 왜 그렇게 “무작위”로 보일까요?

바로 그 점이 이 현상을 흥미롭게 만듭니다.

하나의 점은 아주 단순한 동작, 즉 현재 위치를 바탕으로 다음 위치를 계산하는 일만 수행합니다.

하지만 이 과정이 수천, 수만 번 반복되면서 한 단계의 결과가 다음 단계의 입력값이 됩니다. 따라서 첫 번째 단계가 두 번째 단계에 영향을 주고, 두 번째 단계가 세 번째 단계에 영향을 주는 식으로 이어집니다. 수십만 번의 계산을 거치면, 단순한 규칙만으로도 믿을 수 없을 만큼 복잡한 전체 구조가 만들어질 수 있습니다.

즉, 복잡한 패턴을 만드는 데 반드시 복잡한 규칙이 필요한 것은 아닙니다. 때로는 단순한 규칙을 충분히 반복하는 것만으로도 충분합니다.

네 개의 숫자 — 네 개의 “다이얼”

드 용 어트랙터의 가장 매력적인 점 중 하나는 매개변수가 매우 단순하다는 것입니다. 주요 매개변수는 a, b, c, d의 네 가지입니다.

이것들을 네 개의 다이얼이라고 생각하면 됩니다. 다이얼 하나를 돌리면 점의 움직임 방식이 바뀝니다. 움직임이 변하면 그에 따른 궤적도 달라지죠. 그렇게 되면 패턴도 바뀌게 됩니다.

숫자 하나만 바꾸면 어떻게 될까요?

직접 시도해 볼 만한 가치가 있는 실험입니다.

먼저 매개변수(파라미터)를 설정하고 현재 패턴을 확인해 보세요. 그런 다음 다른 세 숫자는 그대로 둔 채 'a' 값만 변경하여 이미지를 다시 생성해 봅니다. 그러면 원래 패턴이 크게 달라진 것을 확인할 수 있을 것입니다.

다음으로 'a'를 원래 값으로 되돌리고 이번에는 'b'만 변경해 보세요. 그러면 또 다른 형태의 구조가 나타날 것입니다.

이 과정에서 여러분은 깨닫게 될 것입니다. 단 하나의 숫자만 바꿨을 뿐인데, 수학적 세계 전체를 변화시켰다는 사실을 말이죠.

왜 이 네 개의 숫자가 그토록 막대한 힘을 발휘할까요?

이 숫자들은 “여기에 선을 그어라”나 “저기에 원을 그려라”와 같은 명령을 직접 내리지 않기 때문입니다. 대신, 이들은 다음 단계에서 점이 어떻게 움직일지를 변화시킵니다. 다음 단계의 위치가 그 이후 단계의 위치를 결정하므로, 이러한 매개변수의 영향은 연속적으로 파급됩니다.

간단히 말해 다음과 같은 흐름으로 이해할 수 있습니다: 매개변수 변경 → 움직임의 변화 → 다음 위치의 변화 → 이후 모든 단계의 변화 → 최종 궤적의 변화 → 전체 패턴의 변화.

이것이 바로 드 용(De Jong) 어트랙터가 생성되는 핵심 과정입니다.

구름처럼 보이지만, 사실 아무도 구름을 직접 그린 것은 아닙니다

드 용(De Jong) 어트랙터는 종종 부드럽고 유동적인 시각적 형태를 만들어냅니다. 수많은 점이 모여 밀도가 각기 다른 영역을 형성하는데, 어떤 곳은 점들이 빽빽하게 밀집해 있고 어떤 곳은 드문드문 분포합니다.

이로 인해 ☁️ 구름이나 안개, 🖋️ 잉크 얼룩, 🌀 소용돌이, 🎗️ 리본, 🌫️ 연기 등과 같은 형태가 나타납니다.

하지만 이러한 형태 중 어느 것도 수학 공식에 의해 명시적으로 지정된 것은 아닙니다. 공식은 결코 '지금 구름을 그려라'라고 지시하지 않습니다. 그저 '다음에 어디로 갈까?'를 끊임없이 계산할 뿐입니다. 구름 같은 패턴은 수많은 단순한 움직임이 겹쳐지며 자연스럽게 만들어진 결과물일 뿐입니다.

이것이 드 용 어트랙터와 일반 이미지의 결정적인 차이점입니다

일반 이미지는 아무리 복잡해 보여도 본질적으로는 이미 존재하는 픽셀들로 구성되어 있습니다.

드 용 어트랙터는 다릅니다. 눈에 보이는 패턴은 계산 과정에서 서서히 드러납니다. 이는 마치 수학 그 자체가 그림을 그려나가는 것과 같습니다.

따라서 '재생성(regenerate)'을 클릭할 때, 단순히 갤러리에 있는 이미지를 다른 것으로 바꾸는 것이 아니라 수학적 규칙을 처음부터 다시 실행하는 것입니다.

이것이 바로 혼자서 탐색하기에 특히 적합한 이유입니다.

미리 알 수 있습니다: 규칙이 무엇인지. 하지만 다음에 어떤 패턴을 얻게 될지는 반드시 알 수는 없습니다.

이는 일련의 매개변수를 선택하고 생성을 누른 다음 수학 결과를 확인하는 블라인드 상자를 여는 것과 매우 유사합니다.

때로는 눈에 띄지 않을 때도 있고, 때로는 매우 아름답습니다. 때로는 전혀 예상하지 못한 구조를 얻기도 합니다.

패턴에서 다시 수학으로

이제 우리는 드 용(De Jong) 끌개가 끊임없이 움직이는 점이라는 것을 알게 되었습니다. 그렇다면 그 이면에 담긴 수학적 원리는 무엇일까요?

이것은 일반적으로 다음과 같은 두 가지 점화식을 사용합니다:

x_n+1 = sin(ay_n) - cos(bx_n)

y_n+1 = sin(cx_n) - cos(dy_n)

언뜻 보기에는 복잡하고 어려워 보일 수 있지만, 그 개념은 사실 매우 간단합니다.

첫 번째 공식: 현재의 x와 y를 바탕으로 다음 x를 계산합니다.

두 번째 공식: 현재의 x와 y를 바탕으로 다음 y를 계산합니다.

이를 통해 새로운 x와 y 값이 산출됩니다.

그런 다음, 새로 얻은 x와 y를 다시 공식에 대입하여 계산을 이어가며 이 과정을 반복합니다.

그렇게 하나의 점이 하나의 이미지로 변모합니다.

이 전체 과정을 요약하자면 다음과 같습니다: 점 → 다음 단계 계산 → 이동 → 다시 계산 → 다시 이동 → 수없이 반복 → 수많은 흔적을 남김 → 복잡한 패턴 형성.

이것이 바로 드 용 끌개입니다. 이것은 '이런 그림을 그리겠다'고 명시적으로 정해두지 않습니다. 단지 '다음 단계로 어떻게 이동할지'만을 지시할 뿐입니다. 최종적인 패턴은 이러한 움직임이 장기간 축적되면서 자연스럽게 나타나는 결과물입니다.

왜 '어트랙터(attractor)'라고 부를까요?

이렇게 생각해 볼 수 있습니다. 오랜 시간 움직인 끝에, 한 점이 특정 구조의 주변 영역에 갇히게 되는 것입니다.

그 점은 멈추지 않고 계속 움직입니다. 하지만 무한히 먼 곳으로 벗어나지도 않죠. 장기적으로 보면 그 궤적은 특정 영역과 구조 내에 집중됩니다. 이러한 궤적들이 많이 겹쳐지면 비로소 어트랙터의 모습이 드러납니다.

즉, 우리가 보는 것은 정지된 채 미리 설계된 이미지가 아니라, 동역학적 시스템의 장기적인 움직임이 남긴 '흔적'인 셈입니다.

어트랙터마다 어떤 모양의 차이가 있을까요?

어트랙터에는 여러 종류가 있으며, 그 모양이 모두 같을 필요는 없습니다.

예를 들어, 로렌츠 어트랙터(Lorenz attractor)는 3차원 공간을 움직이는 수학적 나비와 같은 모습을 띱니다.

반면 아이자와 어트랙터(Aizawa attractor)는 복잡한 3차원 공간 구조를 닮았습니다.

클리포드 어트랙터(Clifford attractor)는 종종 정교하고 추상적인 질감을 만들어냅니다.

한편, 드 용 어트랙터(De Jong attractor)는 부드럽고 섬세하며 층이 풍부한 수학적 질감을 만들어내는 데 탁월합니다.

따라서 다른 어트랙터들과 비교했을 때, 드 용 어트랙터는 네 개의 숫자를 활용해 새로운 질감을 찾아내는 색다른 탐구 방식을 제공합니다.

수학의 세계를 계속 탐험해 보세요

드 용(De Jong) 끌개는 매개변수(파라미터)의 변화가 결과물에 어떤 영향을 미치는지 탐구할 수 있는 끌개(attractor) 분야의 대표적인 예입니다.

만약 “숫자를 조금씩 바꿔가며 수학이 만들어내는 결과물을 확인하는 것”을 즐기신다면, 클리포드(Clifford) 끌개를 살펴보세요.

3차원 공간에서의 움직임을 관찰하는 것을 선호하신다면 아이자와(Aizawa) 끌개를 시도해 보세요.

혼돈(카오스), 기상 예측, 나비 효과에 관심이 있다면 로렌츠(Lorenz) 끌개를 탐구해 보세요.

이들은 모두 끌개의 세계에 속해 있지만 저마다 독특한 특징을 지니고 있습니다. 클리포드 끌개(매개변수가 추상 예술을 생성), 드 용 끌개(매개변수가 수학적 질감을 생성), 아이자와 끌개(규칙이 3차원 구조를 생성), 그리고 로렌츠 끌개(규칙이 혼돈과 수학적 나비 모양을 생성)가 바로 그것입니다.

드 용 끌개를 특히 인상 깊게 만드는 것은 a, b, c, d라는 겉보기엔 평범해 보이는 네 개의 숫자입니다. 단순한 매개변수처럼 보일 수 있지만, 이 숫자들을 약간만 바꿔도 완전히 다른 수학적 세계가 펼쳐질 수 있습니다.

더 많은 놀라운 수학적 패턴을 계속 탐험해 보세요.

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