Исследуйте аттрактор Де Йонга
Четыре числа создают бесчисленные математические узоры
Если бы вас попросили создать абстрактную картину, вам могли бы понадобиться кисти и краски, а сам процесс, вероятно, занял бы немало времени.
Но если бы я сказал, что для создания этой картины нужны всего четыре числа, вы, возможно, не поверили бы.
Аттрактор Де Йонга — одна из таких удивительных математических фигур. Всё начинается с единственной точки, которая непрерывно движется по заданным математическим правилам; этот процесс определяется прежде всего четырьмя параметрами: a, b, c и d.
Стоит лишь немного изменить эти четыре числа, как исходный узор преображается до неузнаваемости: порой он напоминает дым, облака или чернила, а иногда — тончайшее переплетение шелковых нитей.
В этом и заключается главная прелесть аттрактора Де Йонга: четыре числа открывают целый мир математических узоров, таящих в себе бесконечные возможности.
Пока забудьте о формулах
При первом знакомстве с аттрактором Де Йонга вовсе не обязательно знать лежащие в его основе математические формулы.
Просто представьте себе точку на холсте, находящуюся в определенном месте. Математические правила отслеживают ее положение и дают команду: «Теперь переместись сюда».
Точка перемещается. Достигнув новой позиции, правила снова производят расчет: «Теперь переместись сюда».
Точка снова движется. Затем снова расчет и снова движение — и так до бесконечности.
Шаг 1: Точка → Расчет → Движение
Шаг 2: Точка → Расчет → Движение
Шаг 3: Точка → Расчет → Движение
...
Поначалу вы можете ничего не увидеть — лишь несколько разрозненных точек.
Но по мере накопления расчетов и формирования траектории постепенно проступает сложный узор.
Это не случайная генерация
Возможно, вы задаетесь вопросом: «Разве это не просто случайно сгенерированный шум?»
На самом деле — нет. Каждый шаг построения аттрактора Де Йонга определяется конкретными правилами. Если начальная позиция, параметры и правила вычислений идентичны, то и конечный результат будет таким же.
Таким образом, здесь нет случайного разброса точек; вместо этого происходит непрерывное движение по определенным правилам. В этом и заключается ключевое отличие от обычного случайного шума.
Но почему это выглядит так «хаотично»?
Именно это и делает его таким интересным.
Отдельная точка выполняет лишь одно очень простое действие: вычисляет свою следующую позицию на основе текущей.
Однако этот процесс повторяется тысячи и тысячи раз, причем результат одного шага служит исходными данными для следующего. Так первый шаг влияет на второй, второй — на третий и так далее... После сотен тысяч вычислений простые правила могут порождать невероятно сложные общие структуры.
Получается, что для создания сложных узоров не обязательно нужны сложные правила. Иногда достаточно просто многократно повторить одно простое правило.
Четыре числа — четыре «ручки настройки»
Одна из самых увлекательных особенностей аттрактора Де Йонга — простота его параметров. Их всего четыре: a, b, c и d.
Их можно представить как четыре ручки настройки. Поверните одну из них — и характер движения точки изменится. Изменение движения влечет за собой изменение траектории. И вот результат: узор меняется.
Что произойдет, если изменить всего одно число?
Этот эксперимент определенно стоит провести самостоятельно.
Сначала выберите набор параметров и зафиксируйте текущий узор. Затем измените только «a» — не трогая остальные три числа — и сгенерируйте изображение заново. Вы можете обнаружить, что исходный узор значительно изменился.
Далее верните «a» к исходному значению и измените только «b»; вы получите совершенно иную структуру.
В этот момент вы поймете: Вы изменили всего одно число, но при этом преобразили целый математический мир.
Почему эти четыре числа обладают такой силой?
Потому что они не дают прямых указаний вроде «проведи здесь линию» или «нарисуй там круг». Вместо этого они меняют то, как точка будет двигаться дальше. Поскольку положение на следующем шаге определяет положение на шаге после него, влияние параметров распространяется непрерывно.
Это можно представить так: Изменение параметра → Изменение движения → Изменение следующей позиции → Изменение каждого последующего шага → Изменение итоговой траектории → Изменение всего узора.
Такова суть генеративного процесса аттрактора Де Йонга.
Это похоже на облако, хотя никто не рисует облака
Аттракторы Де Йонга часто создают мягкие визуальные эффекты: скопления точек образуют области разной плотности — где-то они сгруппированы густо, а где-то — разреженно.
В результате мы видим формы, напоминающие ☁️ облака или туман, 🖋️ брызги чернил, 🌀 вихри, 🎗️ ленты, 🌫️ дым и так далее.
При этом ни одна из этих форм не задана математической формулой напрямую; формула никогда не говорит: «Нарисуй сейчас облако». Она просто непрерывно вычисляет: «Куда двигаться дальше?» Узор, похожий на облако, — это лишь естественный результат наложения бесчисленных простых движений.
В этом заключается главное отличие аттрактора Де Йонга от обычного изображения
Обычное изображение, каким бы сложным оно ни казалось, по сути состоит из заранее заданных пикселей.
Аттракторы Де Йонга устроены иначе. Видимый вами узор формируется постепенно в процессе вычислений; это больше похоже на картину, которую рисует математика.
Поэтому, нажимая кнопку «пересоздать», вы не просто меняете одну картинку из галереи на другую — вы заново запускаете математические алгоритмы.
Именно поэтому такой подход идеально подходит для самостоятельных экспериментов
Вы можете заранее знать правила, но не всегда можете предугадать, какой узор получится в итоге.
Это напоминает покупку «кота в мешке» (или сюрприз-бокса): вы задаете параметры, нажимаете кнопку генерации и смотрите, какой результат выдаст математика.
Иногда получается что-то обычное, иногда — невероятно красивое, а порой возникает совершенно неожиданная структура.
От узоров — обратно к математике
Теперь мы знаем, что аттрактор Де Йонга — это точка, находящаяся в постоянном движении. Но какая математика лежит в его основе?
Обычно используются следующие два рекуррентных соотношения:
xn+1 = sin(ayn) - cos(bxn)
yn+1 = sin(cxn) - cos(dyn)
На первый взгляд это может выглядеть пугающе, но сама идея на самом деле довольно проста.
Первая формула: вычислить следующее значение x на основе текущих x и y.
Вторая формула: вычислить следующее значение y на основе текущих x и y.
В результате получаются новые значения x и y.
Затем новые x и y снова подставляются в формулы для продолжения вычислений — процесс повторяется.
Так одна точка превращается в изображение.
Весь процесс можно описать так: точка → расчет следующего шага → перемещение → новый расчет → новое перемещение → многократное повторение → множество оставленных следов → формирование сложного узора.
Это и есть аттрактор Де Йонга. Он не говорит прямо: «Я собираюсь нарисовать именно это». Он лишь задает правило: «Как перейти к следующему шагу». Итоговый узор возникает естественным образом в результате накопления этих перемещений с течением времени.
Почему это называется «аттрактором»?
Представьте это так: после длительного движения точка оказывается ограниченной пределами определенной структуры.
Точка не останавливается, она продолжает двигаться. Однако она не уходит бесконечно вдаль; в конечном счете ее траектория сосредотачивается в пределах конкретной области и структуры. При наложении множества таких траекторий мы видим аттрактор.
Таким образом, то, что мы видим, — это не статичное, заранее заданное изображение, а «след», оставленный длительным движением динамической системы.
Чем различаются разные аттракторы по внешнему виду?
Существует множество типов аттракторов, и они не обязаны выглядеть одинаково.
Например: аттрактор Лоренца напоминает математическую бабочку, движущуюся в трехмерном пространстве.
Аттрактор Аидзавы похож на сложную трехмерную пространственную структуру.
Аттрактор Клиффорда часто создает причудливые абстрактные текстуры.
В то же время аттрактор Де Йонга позволяет создавать мягкие, тонкие и многослойные математические текстуры.
Таким образом, по сравнению с другими аттракторами, аттрактор Де Йонга предлагает иной подход к исследованию: использование четырех чисел для создания новых текстур.
Продолжайте исследовать мир математики
Аттрактор Де Йонга — отличный пример того, как изменение параметров влияет на итоговый результат в мире аттракторов.
Если вам нравится «менять числа и наблюдать за тем, какие математические образы при этом возникают», попробуйте изучить аттрактор Клиффорда.
Если вам интереснее наблюдать за движением в трехмерном пространстве, обратите внимание на аттрактор Аидзавы.
Если вас увлекают теория хаоса, прогнозирование погоды и «эффект бабочки», исследуйте аттрактор Лоренца.
Все они относятся к миру аттракторов, но каждый обладает своим уникальным характером: аттрактор Клиффорда (параметры создают абстрактное искусство), аттрактор Де Йонга (параметры формируют математические текстуры), аттрактор Аидзавы (правила создают трехмерные структуры), а аттрактор Лоренца (правила порождают хаос и математическую «бабочку»).
Особую выразительность аттрактору Де Йонга придают четыре, на первый взгляд, обычных числа: a, b, c и d. Они могут казаться лишь параметрами, но их незначительное изменение способно открыть совершенно иной математический мир.
Продолжайте изучать другие удивительные математические закономерности.