Den De-Jong-Attraktor erkunden
Vier Zahlen erzeugen unzählige mathematische Muster
Wenn man Sie bitten würde, ein abstraktes Gemälde zu erschaffen, bräuchten Sie vielleicht Pinsel und Farben – und die Fertigstellung würde wahrscheinlich viel Zeit in Anspruch nehmen.
Würde ich Ihnen jedoch sagen, dass dieses Gemälde nur vier Zahlen benötigt, würden Sie es vielleicht kaum glauben.
Der De-Jong-Attraktor ist ein solches faszinierendes mathematisches Gebilde. Er beginnt mit einem einzelnen Punkt, der sich kontinuierlich nach festen mathematischen Regeln bewegt; der gesamte Prozess wird maßgeblich von vier Parametern bestimmt: a, b, c und d.
Durch eine einfache Änderung dieser vier Zahlen kann sich das ursprüngliche Muster in etwas völlig anderes verwandeln: mal erinnert es an Rauch, Wolken oder Tinte, mal wirkt es wie fein verflochtene Seide.
Genau das ist das Faszinierende am De-Jong-Attraktor: Vier Zahlen eröffnen eine Welt mathematischer Muster voller unendlicher Möglichkeiten.
Vergessen Sie vorerst die Formeln
Wenn Sie zum ersten Mal auf einen De-Jong-Attraktor stoßen, müssen Sie die zugrundeliegenden mathematischen Formeln nicht kennen.
Stellen Sie sich einfach einen Punkt auf einer Leinwand vor, der sich gerade an einer bestimmten Stelle befindet. Die mathematischen Regeln erfassen seine Position und geben ihm dann die Anweisung: „Geh als Nächstes hierhin.“
Der Punkt bewegt sich. Sobald er den neuen Ort erreicht hat, berechnen die Regeln erneut: „Geh als Nächstes hierhin.“
Also bewegt er sich wieder. Dann erfolgt eine erneute Berechnung und Bewegung – ein Prozess, der sich endlos wiederholt.
Schritt 1: Punkt → Berechnen → Bewegen
Schritt 2: Punkt → Berechnen → Bewegen
Schritt 3: Punkt → Berechnen → Bewegen
...
Zunächst sehen Sie vielleicht gar nichts – nur ein paar verstreute Punkte.
Doch mit zunehmender Anzahl der Berechnungen und der entstehenden Flugbahn bildet sich allmählich ein komplexes Muster heraus.
Es ist nicht zufällig generiert
Vielleicht fragst du dich jetzt: „Ist das nicht einfach nur zufällig erzeugtes Rauschen?“
Tatsächlich nicht. Jeder Schritt des De-Jong-Attraktors folgt bestimmten Regeln. Sind die Startposition, die Parameter und die Berechnungsregeln identisch, ist auch das Endergebnis identisch.
Es geht also nicht darum, Punkte willkürlich zu verteilen; stattdessen bewegt sich das System kontinuierlich nach festen Regeln. Genau darin liegt der entscheidende Unterschied zu gewöhnlichem Zufallsrauschen.
Aber warum sieht es so „zufällig“ aus?
Genau das macht es so interessant.
Ein einzelner Punkt tut nur eine sehr einfache Sache: Er berechnet seine nächste Position auf der Grundlage seiner aktuellen Position.
Dieser Vorgang wiederholt sich jedoch tausendfach, wobei das Ergebnis eines Schrittes als Eingabe für den nächsten dient. So beeinflusst der erste Schritt den zweiten, der zweite den dritten und so weiter... Nach Hunderttausenden von Berechnungen können aus einfachen Regeln unglaublich komplexe Gesamtstrukturen entstehen.
Für komplexe Muster sind also nicht unbedingt komplexe Regeln erforderlich. Manchmal genügt es, eine einfache Regel oft genug zu wiederholen.
Vier Zahlen – vier „Regler“
Einer der faszinierendsten Aspekte des De-Jong-Attraktors ist seine Einfachheit hinsichtlich der Parameter. Es gibt vier Hauptparameter: a, b, c und d.
Man kann sie sich wie vier Regler vorstellen. Dreht man an einem, verändert sich die Bewegung des Punktes. Mit der veränderten Bewegung verschiebt sich auch die resultierende Bahnkurve. Und zack: Das Muster ändert sich.
Was passiert, wenn man nur eine einzige Zahl ändert?
Dieses Experiment lohnt sich, selbst ausprobiert zu werden.
Wählen Sie zunächst einen Satz von Parametern und prägen Sie sich das aktuelle Muster ein. Ändern Sie dann nur den Wert für „a“ – ohne die anderen drei Zahlen zu verändern – und lassen Sie das Bild neu berechnen. Sie werden feststellen, dass sich das ursprüngliche Muster erheblich verändert hat.
Setzen Sie „a“ anschließend auf seinen ursprünglichen Wert zurück und ändern Sie nur „b“; Sie erhalten daraufhin eine völlig andere Struktur.
An diesem Punkt wird Ihnen klar: Sie haben nur eine einzige Zahl geändert und damit die gesamte mathematische Welt verändert.
Warum besitzen diese vier Zahlen eine solche Macht?
Weil sie keine direkten Anweisungen wie „Zeichne hier eine Linie“ oder „Zeichne dort einen Kreis“ vorgeben. Stattdessen beeinflussen sie, wie sich der Punkt als Nächstes bewegt. Da die Position des nächsten Schritts die Position des darauffolgenden Schritts bestimmt, setzt sich der Einfluss der Parameter fortlaufend fort.
Man kann es sich vereinfacht so vorstellen: Parameteränderung → Änderung der Bewegung → Änderung der nächsten Position → Änderung jedes weiteren Schritts → Änderung der gesamten Flugbahn → Änderung des gesamten Musters.
Dies ist der grundlegende generative Prozess des De-Jong-Attraktors.
Es sieht aus wie eine Wolke, doch niemand zeichnet Wolken
De-Jong-Attraktoren erzeugen oft weiche visuelle Effekte: Punktansammlungen bilden Bereiche unterschiedlicher Dichte – manche Regionen sind dicht gedrängt, andere eher spärlich besetzt.
Folglich sehen wir Formen, die an ☁️ Wolken oder Nebel, 🖋️ Tintenspritzer, 🌀 Wirbel, 🎗️ Bänder, 🌫️ Rauch usw. erinnern.
Keine dieser Formen ist jedoch explizit in der mathematischen Formel festgelegt; die Formel gibt niemals die Anweisung: „Zeichne jetzt eine Wolke.“ Sie berechnet lediglich fortlaufend: „Wohin bewege ich mich als Nächstes?“ Das wolkenartige Muster ist lediglich das natürliche Ergebnis der Überlagerung unzähliger einfacher Bewegungen.
Das ist der entscheidende Unterschied zwischen einem De-Jong-Attraktor und einem gewöhnlichen Bild
Ein gewöhnliches Bild besteht – ganz gleich, wie komplex es wirkt – im Grunde aus bereits vorhandenen Pixeln.
Bei De-Jong-Attraktoren ist das anders. Das sichtbare Muster entsteht erst nach und nach während des Rechenvorgangs; es gleicht eher einem Bild, das von der Mathematik gezeichnet wird.
Wenn Sie also auf „Neu generieren“ klicken, tauschen Sie nicht einfach ein Bild aus einer Galerie aus – Sie lassen die mathematischen Regeln erneut ablaufen.
Genau deshalb eignet es sich auch hervorragend zum eigenen Experimentieren
Sie kennen zwar vielleicht die Regeln im Vorfeld, wissen aber nicht unbedingt, welches Muster als Nächstes entstehen wird.
Es ist ein wenig wie beim Öffnen einer Überraschungsbox: Sie wählen bestimmte Parameter aus, klicken auf „Generieren“ und sehen dann, was die Mathematik hervorbringt.
Manchmal ist das Ergebnis gewöhnlich, manchmal atemberaubend schön, und bisweilen erhalten Sie sogar eine Struktur, mit der Sie überhaupt nicht gerechnet hätten.
Von Mustern zurück zur Mathematik
Wir wissen nun, dass ein De-Jong-Attraktor ein Punkt in ständiger Bewegung ist. Doch welche Mathematik steckt dahinter?
Typischerweise kommen dabei die folgenden zwei Rekursionsgleichungen zum Einsatz:
xn+1 = sin(ayn) - cos(bxn)
yn+1 = sin(cxn) - cos(dyn)
Auf den ersten Blick mag das kompliziert wirken, doch die zugrundeliegende Logik ist eigentlich ganz einfach.
Die erste Formel: Berechne den nächsten x-Wert auf Basis der aktuellen x- und y-Werte.
Die zweite Formel: Berechne den nächsten y-Wert auf Basis der aktuellen x- und y-Werte.
Daraus ergeben sich neue x- und y-Werte.
Anschließend setzt man die neuen x- und y-Werte wieder in die Formeln ein, um die Berechnung fortzusetzen – der Vorgang wiederholt sich also.
Auf diese Weise verwandelt sich ein einzelner Punkt in ein Bild.
Der gesamte Prozess lässt sich so zusammenfassen: Ein Punkt → nächsten Schritt berechnen → bewegen → erneut berechnen → erneut bewegen → viele, viele Male wiederholen → eine Vielzahl von Pfaden hinterlassen → ein komplexes Muster bilden.
Das ist der De-Jong-Attraktor. Er gibt nicht explizit vor: „Das hier werde ich zeichnen.“ Er legt lediglich fest: „Wie man zum nächsten Schritt gelangt.“ Das fertige Muster entsteht ganz natürlich aus der langfristigen Anhäufung dieser Bewegungen.
Warum wird er als „Attraktor“ bezeichnet?
Man kann es sich so vorstellen: Nach einer langen Bewegungsphase beschränkt sich der Punkt auf die unmittelbare Umgebung einer bestimmten Struktur.
Der Punkt kommt nie zur Ruhe; er bewegt sich ständig weiter. Dennoch entfernt er sich nicht ins Unendliche; auf lange Sicht konzentriert sich seine Bahn auf einen bestimmten Bereich und eine bestimmte Struktur. Wenn sich diese zahlreichen Pfade überlagern, wird der Attraktor sichtbar.
Was wir also sehen, ist kein statisches, vorgefertigtes Bild, sondern die „Spuren“, die durch die langfristige Bewegung eines dynamischen Systems hinterlassen werden.
Wie unterscheiden sich verschiedene Attraktoren in ihrem Erscheinungsbild?
Es gibt viele Arten von Attraktoren, und sie müssen nicht alle gleich aussehen.
Der Lorenz-Attraktor beispielsweise ähnelt einem mathematischen Schmetterling, der sich durch den dreidimensionalen Raum bewegt.
Der Aizawa-Attraktor wirkt eher wie eine komplexe räumliche Struktur.
Der Clifford-Attraktor erzeugt oft filigrane, abstrakte Texturen.
Der De-Jong-Attraktor hingegen zeichnet sich durch die Erzeugung weicher, feiner und vielschichtiger mathematischer Texturen aus.
Im Vergleich zu anderen Attraktoren bietet der De-Jong-Attraktor somit eine andere Art der Erkundung: die Entdeckung neuer Texturen mithilfe von vier Zahlen.
Entdecken Sie die Welt der Mathematik weiter
Der De-Jong-Attraktor ist ein hervorragendes Beispiel aus der Welt der Attraktoren, um zu erkunden, wie sich das Ergebnis durch die Änderung von Parametern verändert.
Wenn es Ihnen gefällt, „an ein paar Zahlen zu drehen und zu sehen, was die Mathematik dabei erschafft“, sollten Sie sich den Clifford-Attraktor ansehen.
Wenn Sie lieber Bewegungen im dreidimensionalen Raum beobachten, probieren Sie den Aizawa-Attraktor aus.
Wenn Sie sich für Chaos, Wettervorhersage und den Schmetterlingseffekt interessieren, erkunden Sie den Lorenz-Attraktor.
Sie alle gehören zur Welt der Attraktoren, besitzen jedoch jeweils ihren ganz eigenen Charakter: der Clifford-Attraktor (Parameter erzeugen abstrakte Kunst), der De-Jong-Attraktor (Parameter erzeugen mathematische Texturen), der Aizawa-Attraktor (Regeln erzeugen 3D-Strukturen) und der Lorenz-Attraktor (Regeln erzeugen Chaos und einen mathematischen Schmetterling).
Was den De-Jong-Attraktor besonders bemerkenswert macht, sind jene vier scheinbar gewöhnlichen Zahlen: a, b, c und d. Sie mögen wie bloße Parameter wirken, doch schon eine geringfügige Änderung an ihnen kann eine völlig neue mathematische Welt offenbaren.
Entdecken Sie weitere faszinierende mathematische Muster.