シェルピンスキーのギャスケットを探索する

シェルピンスキーのギャスケット：一つの三角形が、いかにして無限の三角形の世界へと変わるのか？

ごく普通の塗りつぶされた三角形（▲）を思い浮かべてみてください。そこから三角形を次々とくり抜いていったら、最後に何が残るでしょうか？「結局、どんどん小さくなっていく三角形が残るだけでは？」と思うかもしれません。

しかし、実際は全く違います。「三角形を同じ大きさの4つの小さな三角形に分け、真ん中の三角形を取り除く」という非常にシンプルなルールを繰り返していくと、最終的に出来上がるのは普通の三角形ではありません。無数の穴が空き、幾重にも入れ子構造を成し、無限に広がっていく不思議な幾何学模様、すなわち「シェルピンスキーのギャスケット」なのです。

すべては一つの三角形から始まる

最初のステップはとてもシンプルです。塗りつぶされた三角形が一つあるだけ。これが図形全体の出発点となります。フラクタル構築の言葉で言えば、これが最初の「始図形（イニシエーター）」です。この時点では、穴も複雑な構造もフラクタルもなく、ただの普通の三角形があるだけです。

1回目：4つの三角形に分割する

次に、この大きな三角形の3つの辺それぞれの中点を取り、それらをつなぎます。すると、元の大きな三角形は4つの全く同じ小さな三角形に分割されます（下の図のようなイメージです）。ここで最も重要なのは、中央に逆向きの小さな三角形が現れるということです。

2回目：さらに「くり抜く」

さて、ここで疑問が湧きます。先ほどのルールはこれで終わりでしょうか？いいえ、違います。まだ3つの小さな三角形が残っていますから、それらそれぞれに対して、先ほどと同じ操作を繰り返すのです。それぞれの三角形を4つに分け、中央の三角形を取り除きます。すると、1つが3つになり、3つが9つになり、さらに27つになり……と増えていきます。

これこそが再帰（リカーシブ）です。その意味はとてもシンプルで、「さっき行った操作を、新しい対象に対してもう一度行う」というものです。1回目は大きな三角形に対して操作を行います。2回目は、残った3つの小さな三角形に対して操作を行います。3回目は、さらに残った9つのより小さな三角形に対して操作を行います。ルールは最初から最後まで変わらず、常に「4つに分割し、真ん中の1つを取り除く」というものだけです。

単純なルールから、なぜこれほど複雑なものが生まれるのか？

三角形の数に注目してみましょう：1 → 3 → 9 → 27 → 81 → 243 → ……。反復を行うたびに三角形の数は3倍になりますが、同時にそれぞれの三角形の辺の長さは半分（1/2）になります。その結果、パターン内の構造は増え続け、一つひとつの構造はどんどん小さくなっていきます。最終的に目にするのは、大きな三角形の中に小さな三角形があり、その中にさらに小さな三角形があり、その中にもまた小さな三角形がある……という光景です。拡大しても、次々と三角形が現れるのです。これこそが最も興味深い点です。

パターン全体を見ると、巨大な三角形が目に飛び込んできます。しかし、その角の一つを拡大してみると、やはり同じような三角形の構造が見えてきます。さらに拡大しても、また同じ構造が現れます。理論上、このプロセスは無限に続きます。つまり、これは典型的な 自己相似構造 なのです。

「自己相似」とは？

難しそうに聞こえるかもしれませんが、簡単に言えば、全体と部分がよく似ているということです。

シェルピンスキーの三角形は、その典型的な例です。図形全体は一つの三角形ですが、それは3つの、より小さな同様の構造で構成されています。そして、それぞれの小さな構造もまた、3つのさらに小さな構造から成り立っています。これを繰り返しても、基本的な形は変わりません。つまり、どのスケール（大きさ）で見ても、似たような構造が見つかるのです。これこそが、フラクタルの世界における非常に重要な概念である「自己相似」です。

普通の三角形とは何が違うのでしょうか？

普通の三角形の内部は中身が詰まっています。どこを拡大しても、最終的には連続した三角形の領域に行き着きます。

一方、シェルピンスキーの三角形の内部には無数の「穴」が開いています。しかも、それらの穴はランダムにできているわけではありません。穴の中にさらに穴があり、その中にもまた穴があるというように、入れ子状になっています。「穴を掘る」ことこそが、この図形の最大の特徴です。そのプロセスを、特別な「数学のスコップ」を使って作業する様子として想像してみてください。まず、大きな三角形の真ん中から三角形を一つ取り除きます。次に、残った3つの三角形のそれぞれから、また一つずつ三角形を取り除きます。さらに3回目、4回目と作業を続けます。その際、使うスコップは常に同じものですが、掘る場所はどんどん小さくなっていきます。そうして最終的に残るのが、シェルピンスキーの三角形なのです。

無限にくり抜いていくと、どうなるのでしょうか？

これは非常に興味深い問題です。もしこのプロセスを本当に無限に繰り返すと、残った図形は非常に特別なものになります。

それはもはや普通の三角形ではなく、ますます小さくなる無数の点や構造からなる集合体へと変化します。見た目には依然として鮮明な形を保っていますが、数学的な観点から見ると、直感に反するような性質をいくつも持っています。

その最も有名なものの一つがフラクタル次元です。シェルピンスキーの三角形のフラクタル次元は log(3) / log(2) ≈ 1.585 です。これは、普通の「線」ほど単純ではなく、かといって完全な「平面領域」ほど「空間を埋め尽くしている」わけでもない、非常に興味深い中間的な状態にあることを意味します。もっとも、フラクタルに初めて触れる方にとって、この数値を理解する必要は全くありません。ただ、その構造が「線」と「面」の中間に位置しているということさえ知っていれば十分です。

なぜ2次元ではないのでしょうか？

シェルピンスキーの三角形は見た目には三角形のままですが、その内部からはすでに多くの領域がくり抜かれています。しかも、くり抜かれる部分はどんどん増えていきます。無限に繰り返した極限では、その面積は0に近づきますが、構造は依然として無限に複雑であり続けることができます。これは非常に直感に反する現象です。つまり、面積は限りなくゼロに近づく一方で、構造はますます複雑になっていくのです。

面積はどこへ行ってしまったのでしょうか？

計算してみましょう。最初は面積が100%です。1回目に中央の1/4をくり抜くと、3/4が残ります。2回目には残った部分からさらに1/4をくり抜くので、3/4 × 3/4が残ります。3回目にはさらに掛け合わせ、3/4 × 3/4 × 3/4となります。したがって、n回繰り返した後の残りの面積は (3/4)ⁿ となります。nが大きくなるにつれて、この数値は0に近づいていきます。つまり、無限にくり抜いていくと、最終的に残る領域の面積はゼロに近づくのです。しかし、図形が「消滅」するわけではありません。それどころか、ますます精緻なものになっていくのです。

『大きさ』と『複雑さの度合い』は、決して同じものではありません。これこそが、フラクタルが持つ最も魅力的なパラドックスの一つです。あるものは、どんどん小さくなりながら、同時にますます複雑になっていくことがあり得るのです。さらには、面積がゼロに近づきながらも、無限の階層構造を持つことさえあります。これこそが、フラクタル数学の非常に魅力的な点なのです。

それはランダムに生成されたものではありません

シェルピンスキーのギャスケット（シェルピンスキーの三角形）を初めて見たとき、人はこう思うかもしれません。「この黒と白の小さな三角形は、ランダムに配置されているのだろうか？」と。しかし、全くそうではありません。

空洞の位置はすべて、一つの同じルールによって決まっています。乱数も、手作業による描画も、複雑な設計図もありません。あるのはただ一つのルールだけです。4つに分割し、真ん中の1つを取り除き、残ったものに対して同じことを繰り返す、というものです。

ルールは一つだけです。そのプロセスを極限まで単純化するとこうなります。ステップ1：一つの三角形から始めます。ステップ2：それを4つの同じ小さな三角形に分割します。ステップ3：真ん中の1つを取り除きます。ステップ4：残った3つの三角形に対して、同じ操作を繰り返します。ステップ5：それを繰り返します。これだけです。他にルールはありません。しかし、最終的には無限に複雑なパターンが生まれるのです。

コインを使って作ることもできます

シェルピンスキーの三角形には、もう一つ非常に興味深い秘密があります。それは、パスカルの三角形との間に見事なつながりがあるということです。パスカルの三角形の数字のうち、奇数を黒く塗りつぶし、偶数を白のままにしておくと、巨大なシェルピンスキーの三角形が浮かび上がってくるのがわかります。

これはどういうことでしょうか？一見すると、パスカルの三角形は「1」「1 1」「1 2 1」「1 3 3 1」「1 4 6 4 1」……といった単なる数字の列にすぎません。しかし、それらの数字が奇数か偶数かだけに注目すると、驚くべきことにシェルピンスキーの三角形が現れるのです。つまり、全く異なるように見える数学の問題の中に、同じフラクタル構造が隠されていたわけです。これこそが数学の素晴らしい点の一つです。異なる分野の、一見無関係に思えるルールから、時に全く同じ構造が生まれることがあるのです。

それはシェルピンスキーのカーペットとどう違うのですか？

シェルピンスキーの三角形とシェルピンスキーのカーペットを両方見ると、『これらはとてもよく似ている』と感じるかもしれません。確かに、それらには共通する核心的な考え方があります。それは、単純な完全な図形から始め、その一部を取り除き、残った部分に対して同じルールを繰り返すというものです。そのため、どちらも典型的な再帰的フラクタルと言えます。

しかし、選ばれる『出発点となる図形』や『穴を開けるルール』は異なります。一方は三角形から、もう一方は正方形から始まるというのが、最も直感的な違いです。

シェルピンスキーの三角形は、1つの三角形から始まります。三角形を4つの同じ小さな三角形に分割し、中央の1つを取り除くことで3つの三角形を残し、その3つに対して同じ操作を繰り返していきます。

一方、シェルピンスキーのカーペットは、1つの正方形から始まります。正方形を3×3＝9個の同じ小さな正方形に分割し、中央の1つを取り除くことで8個の小さな正方形を残し、その8個の正方形に対して同じ操作を繰り返していきます。

一方は『三角形をくり抜く』もので、もう一方は『正方形をくり抜く』ものです。シェルピンスキーの三角形は三角形の中から三角形をくり抜くのに対し、シェルピンスキーのカーペットは正方形の中から正方形をくり抜くという違いがあります。単純に聞こえるかもしれませんが、このわずかな違いが再帰的に繰り返されることで、最終的には全く異なる図形が生まれます。

再帰の仕方も異なります。最初の段階から次の段階への変化を書き出してみると、その違いはより明確になります。

シェルピンスキーの三角形：1つの三角形 → 3つの三角形 → 9つの三角形 → 27の三角形 → 81の三角形。各段階で3倍になります。△ → より小さな3つの △ △ △ となるため、最終的にもはっきりとした三角形の構造が保たれます。

シェルピンスキーのカーペット：1つの正方形 → 8つの正方形 → 64の正方形 → 512の正方形 → 4096の正方形。各段階で8倍になります。

つまり、どちらも「穴をくり抜く」操作を繰り返しますが、三角形の場合は毎回3つの領域が残り、カーペットの場合は毎回8つの領域が残ります。□ → より小さな8つの □ □ □ □ □ □ □ となるため、最終的には無数の穴が開けられた数学的なカーペットのように見えます。

しかし、これらを全く無関係な2つのフラクタルだと捉えないでください。実は、これらは非常によく似ています。どちらも単純な図形 → 分割 → 一部を取り除く → 残った部分に同じ操作を繰り返す → 複雑化していくというプロセスに従っています。そのため、シェルピンスキーのカーペットとシェルピンスキーの三角形は、どちらも「再帰的に穴をくり抜く」という同じ考え方を、三角形と正方形という異なる図形に適用したものだと考えることができます。

なぜこれほど似ているのでしょうか？それは、どちらも『無限の穴』という共通の視覚的特徴を持っているからです。シェルピンスキーの三角形は、大きな三角形の中に小さな三角形の穴があり、その小さな三角形の中にもさらに小さな穴が開いています。シェルピンスキーのカーペットは、大きな正方形の中に小さな正方形の穴があり、その小さな正方形の中にもさらに小さな穴が開いています。そのため、反復回数を重ねるにつれて、どちらも『穴が入れ子状に重なる世界』が現れるのです。

もう一つ興味深い違いがあります。それは『次元』が異なるということです。

もう少し数学的に深く見てみると、フラクタル次元の違いがわかります。シェルピンスキーの三角形は、1つが3つに増えるごとに辺の長さが1/2になるため、そのフラクタル次元は log(3) / log(2) ≈ 1.585 となります。シェルピンスキーのカーペットは、1つが4つに増えるごとに辺の長さが1/3になるため、そのフラクタル次元は log(8) / log(3) ≈ 1.893 となります。つまり、どちらも通常の『完全な2次元図形』ではありませんが、単なる線よりも複雑な構造をしているのです。

なぜこの2つのフラクタルを一緒に探求する価値があるのでしょうか？シェルピンスキーの三角形とシェルピンスキーのカーペットを見比べてみると、面白いことに気づきます。最初の形と再帰のルールを変えるだけで、最終的に出来上がる世界は全く異なるものになるのです。三角形（△ → △ → △ → ……）からはシェルピンスキーの三角形が、正方形（□ → □ → □ → ……）からは最終的な形態を決定づけるのは単なる「再帰」ではなく、どのような基本ルールを選択するかである、ということです。

コッホの雪片とは何が違うのでしょうか？

最近 コッホの雪片 について調べたことがあるなら、それらが非常によく似ていることに気づくでしょう。どちらも単純な図形から始まり、簡単なルールを繰り返し適用することで、最終的に複雑な構造を生み出します。しかし、その変化の方向性は全く異なります。

シェルピンスキーの三角形 の核心は 「取り除く」 ことにあります。完全な三角形から始まり、中央部分を次々とくり抜いていきます。そのプロセスは 「塗りつぶされた面」→「穴」→「さらに多くの穴」→「無限の細分化」 と進みます。

一方、コッホの雪片 の核心は 「付け加える」 ことにあります。三角形の辺から始まり、縁（ふち）に新しい折れ線を次々と付け加えていきます。そのプロセスは 「単純な辺」→「より複雑な辺」→「無限のディテール」 と進みます。

一方は 「くり抜く」、もう一方は 「付け加える」 という違いはありますが、どちらも最終的には複雑なフラクタル構造を生み出すのです。

レヴィC曲線とは何が違うのでしょうか？

レヴィC曲線は、線分を次々と置き換えていきます。1本の線 → 2本 → 4本 → 8本 → ……

シェルピンスキーのギャスケットは、三角形を次々と取り除いていきます。1つの三角形 → 3つ → 9つ → 27個 → ……

つまり、どちらも再帰を用いていますが、生成の仕方は全く異なります。

三角形の中に広がる無限の世界

まずは最初に戻ってみましょう。

手元にあるのは一つの三角形だけです。そこから一つを取り除き、さらに三つ、九つ、二十七つ……と取り除いていきます。

どのステップも極めて単純です。しかし最終的には、ありふれた一つの三角形が、無限の階層を持つ幾何学的な世界へと姿を変えるのです。

拡大し続けると三角形が見え、さらに拡大しても三角形、また拡大してもやはり三角形が現れます。ただし、そのたびにスケールはより小さくなっています。

シェルピンスキーの三角形の仕組みは実にシンプルです。一つの三角形から始め、それを四つに分割して中央の一つを取り除き、残った部分に対して同じ操作を繰り返す。ただひたすら繰り返すのです。すると、単純な三角形が、無限に複雑なフラクタルへと変わるのです。

そこには複雑な数式も、確率的なプロセスも、多くのルールさえも存在しません。あるのはたった一つの単純なルールだけです。

しかし、そのルールを十分に何度も繰り返すことで、複雑さが生まれてくるのです。

フラクタルの世界をさらに探求する

シェルピンスキーの三角形は、フラクタルの世界における非常に典型的な構造の一つです。

「単純なルール → 繰り返しの適用 → 複雑なパターンの生成」というプロセスに興味があるなら、他にもいろいろな図形を探求してみましょう。例えば、単純な辺が外側に向かって細部を加え続け、最終的に無限に複雑な雪の結晶の形になるコッホ曲線（コッホ雪片）。あるいは、単純な生成元と再帰的な処理によって、直線が徐々に「折り畳まれ」、複雑な曲線へと変化していくレヴィC曲線。さらには、単純な線が折り畳まれ続けることで、神秘的なドラゴンのような構造を作り出すドラゴン曲線。そして、2種類の単純なタイルが厳密な配置ルールに従って並び、秩序がありながらも決して周期的に繰り返されることのない世界を作り出すペンローズ・タイルなどがあります。

それぞれルールは異なりますが、これらはすべて数学の世界における非常に魅力的な現象を示しています。それは、「単純であること」は「退屈であること」を意味しないということです。たった一つの単純なルールであっても、それを繰り返し適用するだけで、無限に複雑な世界を創り出すことができるのです。

他にも素晴らしい数学図形を眺めたり、Wikipediaでシェルピンスキーの三角形についてさらに詳しく調べたりすることができます。