시에르핀스키 삼각형 탐색

시어핀스키 삼각형: 하나의 삼각형이 어떻게 무한한 삼각형의 세계로 변모할까요?

평범한 삼각형(▲) 하나가 있다고 상상해 보세요. 그 안에서 계속해서 삼각형을 잘라내면 어떤 모양이 될까요? 아마 '점점 작아지는 삼각형이 남지 않을까?'라고 생각할지도 모릅니다.

하지만 실제로는 전혀 그렇지 않습니다. '삼각형을 똑같은 크기의 작은 삼각형 4개로 나누고 가운데에 있는 삼각형을 제거한다'는 아주 간단한 규칙을 반복해서 적용하면, 평범한 삼각형이 남는 것이 아닙니다. 대신 수많은 구멍이 뚫려 있고, 층층이 중첩된 구조와 무한한 복잡성을 지닌 경이로운 기하학적 패턴, 바로 시어핀스키 삼각형이 탄생하게 됩니다.

모든 것은 삼각형에서 시작됩니다

첫 번째 단계는 매우 간단합니다. 전체 패턴의 출발점이 되는 하나의 꽉 찬 삼각형으로 시작하는 것이죠. 프랙탈 구성의 용어로는 이를 초기 씨앗 모양(seed shape)이라고 부릅니다. 이 단계에서는 구멍이나 복잡한 구조, 프랙탈 패턴 같은 것은 없으며, 그저 평범한 삼각형일 뿐입니다.

1단계: 네 개의 삼각형으로 나누기

다음으로, 큰 삼각형의 세 변의 중점을 찾아 서로 연결합니다. 이렇게 하면 원래의 큰 삼각형이 아래 그림과 같이 네 개의 똑같은 작은 삼각형으로 나뉩니다. 이때 중요한 점은 중앙에 거꾸로 뒤집힌 작은 삼각형이 생긴다는 것입니다.

2단계: 계속해서 파내기

이제 이런 의문이 생길 수 있습니다. 과연 여기서 과정이 끝날까요? 아니요. 아직 세 개의 작은 삼각형이 남아 있으므로, 각각의 삼각형에 대해 앞서 했던 작업을 반복합니다. 각 삼각형을 네 개로 나누고 중앙의 삼각형을 제거하는 과정을 거치면, 삼각형의 개수는 하나에서 셋, 아홉, 스물일곱 개로 늘어나는 식으로 계속 이어집니다...

끝없이 계속 땅을 판다면 어떤 일이 벌어질까요?

정말 흥미로운 질문입니다. 이 과정을 무한히 반복한다면, 그 결과로 나타나는 도형은 실로 놀라운 형태가 될 것입니다.

더 이상 평범한 삼각형의 모습이 아닙니다. 대신 점점 작아지는 수많은 점과 구조물의 집합체로 변모합니다. 시각적으로는 매우 뚜렷한 형태를 띠지만, 수학적 관점에서는 직관에 반하는 독특한 성질을 지니고 있습니다.

그중 가장 유명한 것이 바로 프랙탈 차원입니다. 시에르핀스키 삼각형의 프랙탈 차원은 log(3) / log(2) ≈ 1.585입니다. 이는 이 도형이 단순한 선도 아니고, 평면 영역을 가득 채우는 형태도 아니라는 뜻으로, 매우 흥미로운 중간 상태에 놓여 있음을 의미합니다. 하지만 프랙탈을 처음 접하신다면 이 구체적인 수치를 완벽히 이해할 필요는 없습니다. 그저 그 구조가 '선'과 '면' 사이 어딘가에 위치한다는 사실만 알면 충분합니다.

왜 2차원이 아닐까요?

시에르핀스키 삼각형은 여전히 삼각형처럼 보이지만 그 내부에 많은 양의 영역이 파여져 있습니다. 더욱이 점점 더 많은 부분이 파헤쳐지고 있습니다. 무한 반복의 한계에서는 면적이 0에 가까워지지만 구조는 여전히 무한히 복잡할 수 있습니다. 이는 매우 반직관적인 현상입니다. 면적은 0에 점점 더 가까워질 수 있지만 구조는 점점 더 복잡해질 수 있습니다.

그 지역은 어디로 갔나요?

우리는 계산을 할 수 있습니다. 처음에는 면적이 100%입니다. 처음에는 가운데 1/4을 파냈으므로 3/4가 남습니다. 두 번째에는 남은 부분에서 1/4을 파내므로 3/4 × 3/4가 남습니다. 세 번째에는 계속해서 곱합니다: 3/4 × 3/4 × 3/4. 따라서 n 반복 후에 나머지 면적 = (3/4)ⁿ.n이 점점 커지면 이 숫자는 점점 0에 가까워집니다. 즉, 무한히 파면 남은 영역의 면적이 0에 가까워지지만 패턴이 '사라지지' 않고 오히려 점점 정교해집니다.

"크기"와 "복잡성"은 같은 것이 아닙니다. 이것은 프랙탈의 가장 매혹적인 역설 중 하나입니다. 사물은 점점 더 작아질 수 있지만 동시에 점점 더 복잡해질 수 있습니다. 심지어 영역은 0에 가까워지지만 구조의 무한한 수준을 가지고 있습니다. 이것이 프랙탈 수학의 매우 흥미로운 점입니다.

무작위로 생성된 것이 아닙니다

시어핀스키 삼각형을 처음 접하면 누구나 '이 작고 검은 삼각형과 흰 삼각형들이 무작위로 배치된 것일까?'라는 의문을 가질 수 있습니다. 하지만 전혀 그렇지 않습니다.

모든 빈 공간의 위치는 동일한 규칙에 따라 결정됩니다. 무작위 숫자나 수작업, 혹은 복잡한 설계도는 필요하지 않습니다. 오직 하나의 규칙만 존재합니다. 바로 삼각형을 넷으로 나누고 가운데 것을 제거한 뒤, 남은 부분에 대해 이 과정을 반복하는 것입니다.

규칙은 단 하나뿐입니다. 전체 과정을 가장 단순하게 요약하자면 다음과 같습니다. 1단계: 삼각형으로 시작합니다. 2단계: 똑같은 크기의 작은 삼각형 4개로 나눕니다. 3단계: 가운데 삼각형을 제거합니다. 4단계: 남은 3개의 삼각형에 동일한 작업을 수행합니다. 5단계: 이 과정을 반복합니다. 이것이 전부입니다. 더 이상의 규칙은 없습니다. 하지만 그 결과물은 무한히 복잡한 패턴이 됩니다.

동전을 이용해 만들 수도 있어요

시어핀스키 삼각형에는 또 다른 흥미로운 비밀이 숨겨져 있습니다. 바로 파스칼의 삼각형과 아름다운 연관성이 있다는 점입니다. 파스칼의 삼각형에서 홀수는 검은색으로 칠하고 짝수는 빈칸으로 남겨두면, 거대한 시어핀스키 삼각형의 모습이 서서히 드러납니다.

이것은 무엇을 의미할까요? 언뜻 보기에 파스칼의 삼각형(1, 1 1, 1 2 1, 1 3 3 1, 1 4 6 4 1...)은 그저 숫자의 나열에 불과한 것처럼 보입니다. 하지만 숫자가 홀수인지 짝수인지에만 주목하면 그 안에서 시어핀스키 삼각형을 발견할 수 있습니다. 다시 말해, 전혀 관련 없어 보이는 수학적 대상 속에 동일한 프랙탈 구조가 숨어 있는 것입니다. 이는 수학의 놀라운 면모 중 하나를 잘 보여줍니다. 바로 전혀 다른 분야의 규칙들이 때로는 똑같은 구조를 만들어낼 수 있다는 사실입니다.

시어핀스키 카펫과는 어떻게 다른가요?

시어핀스키 삼각형과 시어핀스키 카펫을 모두 살펴보셨다면 '꽤 비슷해 보이지 않나요?'라고 생각하실지도 모릅니다. 실제로 이들은 핵심 개념을 공유합니다. 즉, 단순하고 꽉 찬 도형에서 시작해 그 일부를 반복적으로 제거하고 남은 부분에 동일한 규칙을 적용하는 것으로, 이는 재귀적 프랙탈의 대표적인 예시입니다.

하지만 '시작 도형'과 '구멍을 뚫는 규칙'에는 차이가 있습니다. 하나는 삼각형으로 시작하고 다른 하나는 정사각형으로 시작한다는 점이 가장 직관적인 차이점입니다.

시어핀스키 삼각형은 하나의 삼각형에서 시작합니다. 각 단계마다 삼각형을 똑같은 크기의 작은 삼각형 4개로 나누고 가운데 삼각형을 제거하여 3개의 삼각형을 남기며, 이 과정을 남은 3개의 삼각형에 대해 반복합니다.

반면 시어핀스키 카펫은 정사각형에서 시작합니다. 이 정사각형을 3×3 격자 형태의 똑같은 크기인 작은 정사각형 9개로 나누고 가운데 정사각형을 제거하여 8개의 작은 정사각형을 남기며, 이 과정을 남은 8개의 정사각형에 대해 반복합니다.

하나는 '삼각형을 잘라내는 것'이고 다른 하나는 '정사각형을 잘라내는 것'입니다. 즉, 시어핀스키 삼각형은 삼각형에서 삼각형을 제거하는 것이고, 시어핀스키 카펫은 정사각형에서 정사각형을 제거하는 것입니다. 간단해 보이지만, 이러한 미세한 차이가 반복적인 재귀 과정을 거치면서 완전히 다른 최종 패턴을 만들어냅니다.

재귀적 방식 또한 서로 다릅니다. 이러한 차이는 첫 번째 단계에서 두 번째 단계로 넘어가는 과정을 살펴보면 더욱 명확하게 드러납니다.

시어핀스키 삼각형: 삼각형 1개 → 3개 → 9개 → 27개 → 81개. 각 단계마다 개수가 3배로 늘어납니다. △가 더 작은 △ △ △ 3개로 나뉘므로, 고유한 삼각형 구조가 계속 유지됩니다.

시어핀스키 카펫: 정사각형 1개 → 8개 → 64개 → 512개 → 4096개. 각 단계마다 개수가 8배로 늘어납니다.

따라서 두 경우 모두 끊임없이 '구멍을 뚫어내는' 과정을 거치지만, 삼각형은 매번 3개의 하위 영역을 남기는 반면 카펫은 8개를 남깁니다. □가 더 작은 □ 8개로 나뉘기 때문에, 최종 결과물은 마치 수많은 구멍이 뚫린 수학적 카펫처럼 보입니다.

하지만 이들을 완전히 별개의 프랙탈로 보아서는 안 됩니다. 사실 이 둘은 매우 비슷합니다. 두 도형 모두 단순한 모양 → 세분화 → 일부 제거 → 남은 부분에 반복 적용 → 복잡성 증가라는 과정을 따르기 때문입니다. 즉, 시어핀스키 카펫과 시어핀스키 삼각형은 각각 정사각형과 삼각형에 적용된, 동일한 '재귀적 구멍 뚫기' 개념의 두 가지 구현 형태라고 볼 수 있습니다.

왜 그렇게 비슷해 보일까요? 무수히 많은 구멍이라는 시각적 특징을 공유하기 때문입니다. 시어핀스키 삼각형의 경우, 큰 삼각형 안에 더 작은 삼각형 모양의 구멍들이 있고, 그 작은 삼각형들 안에는 더더욱 작은 구멍들이 존재합니다. 시어핀스키 카펫 또한 큰 정사각형 안에 더 작은 정사각형 모양의 구멍들이 있고, 그 구멍들 안에 더 작은 정사각형 구멍들이 포함되는 구조입니다. 결과적으로 반복 횟수가 늘어남에 따라 두 구조 모두 '구멍들의 세계'가 중첩된 형태를 띠게 됩니다.

흥미로운 차이점도 있습니다. 바로 '차원(dimension)'이 다르다는 점입니다.

수학적 원리를 조금 더 깊이 파고들고 싶다면, 이들의 프랙탈 차원을 살펴볼 수도 있습니다. 시어핀스키 삼각형(Sierpinski triangle)은 각 단계마다 하나의 도형이 세 개의 도형으로 변하며, 이때 각 도형의 변의 길이는 1/2로 줄어듭니다. 따라서 그 프랙탈 차원은 log(3) / log(2) ≈ 1.585가 됩니다. 반면 시어핀스키 카펫(Sierpinski carpet)은 각 단계마다 하나의 도형이 네 개의 도형으로 변하고 변의 길이는 1/3로 줄어드는데, 이때의 프랙탈 차원은 log(8) / log(3) ≈ 1.893입니다. 즉, 두 도형 모두 평범한 '완전한 2차원 도형'은 아니지만, 단순한 선보다는 훨씬 더 복잡한 구조를 띠고 있습니다.

왜 이 두 프랙탈을 함께 탐구해 볼 가치가 있을까요? 시어핀스키 삼각형과 시어핀스키 카펫을 비교해 보면 흥미로운 사실을 발견할 수 있습니다. 바로 초기 도형과 재귀적 규칙을 바꾸는 것만으로도 결과로 나타나는 세상이 완전히 달라진다는 점입니다. 삼각형(△ → △ → △ → ...)은 결국 시어핀스키 삼각형을 형성하고, 정사각형(□ → □ → □ → ...)은 결국 시어핀스키 카펫을 형성합니다. 이는 프랙탈에 관한 중요한 개념을 잘 보여줍니다. 즉, 최종 형태를 결정짓는 것은 단순히 '재귀(recursion)' 그 자체가 아니라, 우리가 선택한 구체적인 기본 규칙이라는 사실입니다.

코흐 눈송이(Koch snowflake)와는 어떻게 다른가요?

최근 코흐 눈송이를 살펴보셨다면, 이 둘이 꽤 비슷하다는 것을 알 수 있을 것입니다. 두 도형 모두 단순한 형태에서 시작하여 간단한 규칙을 재귀적으로 적용함으로써 복잡한 구조를 만들어냅니다. 하지만 그 생성 과정의 방향은 완전히 다릅니다.

시어핀스키 삼각형(Sierpinski triangle)의 핵심은 지속적인 제거입니다. 속이 채워진 삼각형에서 시작하여 중앙 부분을 반복적으로 제거해 나가는 방식으로, 그 과정은 채워진 형태 → 구멍 생성 → 더 많은 구멍 → 무한한 세분화로 이어집니다.

반면, 코흐 눈송이의 핵심은 지속적인 추가입니다. 삼각형의 변에서 시작하여 새로운 다각형 선분을 가장자리에 반복적으로 덧붙이는 방식으로, 그 과정은 단순한 변 → 더 복잡한 변 → 무한한 세부 형태로 이어집니다.

하나는 깎아내는(제거하는) 과정이고 다른 하나는 자라나는(추가하는) 과정이지만, 결국 두 경우 모두 복잡한 프랙탈 구조를 형성하게 됩니다.

레비 C 곡선(Lévy C curve)과는 어떻게 다른가요?

레비 C 곡선은 선분을 반복적으로 대체하는 과정을 거칩니다. 선 1개 → 2개 → 4개 → 8개 → ...

시어핀스키 삼각형(Sierpinski triangle)은 삼각형을 반복적으로 제거하는 과정을 거칩니다. 삼각형 1개 → 3개 → 9개 → 27개 → ...

따라서 두 가지 모두 재귀(recursion)를 활용하지만, 생성 방식은 완전히 다릅니다.

삼각형 속의 무한한 세계

맨 처음으로 돌아가 봅시다.

우리는 단 하나의 삼각형에서 시작합니다. 그런 다음 하나를 제거하고, 이어서 세 개, 아홉 개, 스물일곱 개를 제거해 나갑니다...

각 단계는 놀라울 정도로 단순합니다. 하지만 결국 평범한 삼각형은 무한한 층으로 이루어진 기하학적 세계로 변모합니다.

확대해 보면 삼각형이 보입니다. 다시 확대해도 또 다른 삼각형이 나타나고, 한 번 더 확대해도 여전히 삼각형입니다. 하지만 매번 그 삼각형은 더 작은 규모로 존재합니다.

시어핀스키 삼각형(Sierpinski triangle)에 관한 이야기는 사실 꽤 간단합니다. 삼각형으로 시작해 이를 네 개로 나누고, 가운데 있는 삼각형을 제거한 뒤, 남은 삼각형들에 대해 같은 과정을 반복하는 것입니다. 반복하고, 또 반복하는 것이죠. 마침내 단순한 삼각형은 무한히 복잡한 프랙탈(fractal)로 진화합니다.

여기에는 복잡한 공식도, 무작위적인 과정도, 심지어 많은 규칙도 필요하지 않습니다. 그저 단 하나의 단순한 규칙만 있을 뿐입니다.

하지만 그 규칙이 충분히 반복되면, 복잡성이 탄생하게 됩니다.

프랙탈의 세계를 계속 탐험해 보세요

시어핀스키 삼각형(Sierpinski triangle)은 프랙탈 세계의 고전적인 구조물입니다.

단순한 규칙 → 지속적인 반복 → 복잡한 디자인으로 이어지는 패턴에 흥미를 느끼신다면 다음 예시들도 살펴보세요. 단순한 변이 바깥쪽으로 세부 형태를 더해가며 무한히 복잡한 눈송이 모양을 만드는 코흐 눈송이(Koch snowflake), 단순한 생성 규칙과 재귀를 통해 직선이 점차 복잡한 곡선으로 '접혀'가는 과정을 보여주는 레비 C 곡선(Lévy C curve), 단순한 선이 반복적으로 접히며 신비로운 용(dragon)의 형상을 만들어내는 드래곤 곡선(Dragon curve), 그리고 두 가지 단순한 타일 모양이 엄격한 결합 규칙에 따라 평면을 채우며 주기적으로 반복되지 않는 질서 정연한 패턴을 형성하는 펜로즈 타일링(Penrose tiling) 등이 있습니다.

각각의 규칙은 다르지만, 이들은 모두 수학의 매혹적인 현상을 보여줍니다. 바로 단순함이 곧 지루함을 의미하지는 않으며, 단 하나의 단순한 규칙이라도 지속적으로 반복되면 무한히 복잡한 세계를 창조할 수 있다는 사실입니다.

또한 더 놀라운 수학적 도형을 탐색하거나 위키백과에서 시어핀스키 삼각형에 대해 더 자세히 읽어볼 수 있습니다.