Изучите треугольник Серпинского

Треугольник Серпинского: как один треугольник превращается в бесконечный мир треугольников?

Представьте, что у вас есть обычный сплошной треугольник (▲). Если бы вас спросили, что получится, если многократно вырезать из него треугольники, вы могли бы подумать: «Разве в итоге не останется просто треугольник, который будет становиться всё меньше и меньше?»

Но это совсем не так. Если многократно применять очень простое правило — разделить треугольник на четыре одинаковых треугольника меньшего размера и убрать тот, что находится в центре, — то в результате получится вовсе не обычный треугольник. Вместо этого вы создадите удивительный геометрический узор, полный пустот, с вложенными друг в друга слоями и бесконечной сложностью: треугольник Серпинского.

Всё начинается с треугольника

Первый шаг очень прост: мы начинаем с одного сплошного треугольника — отправной точки всего узора. На языке фрактального построения это — исходная фигура-зародыш. На этом этапе нет ни отверстий, ни сложных структур, ни фрактальных узоров — только обычный треугольник.

Шаг 1: Делим на четыре треугольника

Затем мы находим середины трех сторон большого треугольника и соединяем их. Это делит исходный большой треугольник на четыре одинаковых треугольника меньшего размера, примерно так, как показано на изображении ниже. Важно отметить, что в центре появляется перевернутый маленький треугольник.

Шаг 2: Продолжаем процесс

Теперь возникает вопрос: останавливается ли на этом процесс? Нет. У нас остается три маленьких треугольника, поэтому мы повторяем предыдущую операцию с каждым из них. Каждый треугольник делится на четыре, а центральный удаляется; таким образом, один треугольник превращается в три, затем в девять, потом в двадцать семь и так далее...

Что это означает? На первый взгляд треугольник Паскаля — 1, 1 1, 1 2 1, 1 3 3 1, 1 4 6 4 1... — кажется просто набором чисел. Однако, если обратить внимание лишь на то, четные они или нечетные, обнаруживается треугольник Серпинского. Иными словами, в математической задаче, на первый взгляд не имеющей к этому отношения, скрывается та же самая фрактальная структура. Это демонстрирует одну из чудесных особенностей математики: правила из, казалось бы, совершенно разных областей иногда могут порождать идентичные структуры.

Чем это отличается от ковра Серпинского?

Если вы уже видели и треугольник Серпинского, и ковёр Серпинского, то могли подумать: "Разве они не похожи?" И действительно, в их основе лежит одна и та же идея: мы начинаем с простой сплошной фигуры, многократно удаляем её части и применяем то же самое правило к оставшимся фрагментам, что делает их классическими примерами рекурсивных фракталов

Однако они различаются "исходной фигурой" и "правилом вырезания отверстий": один строится на основе треугольника, а другой — квадрата; это самое очевидное различие

Построение треугольника Серпинского начинается с одного треугольника. На каждом шаге треугольник делится на четыре одинаковых треугольника меньшего размера, и центральный из них удаляется (остаются три треугольника); затем этот процесс повторяется для каждого из оставшихся трёх

Построение ковра Серпинского начинается с квадрата. Квадрат делится на сетку 3 × 3 из девяти одинаковых квадратов меньшего размера, и центральный квадрат удаляется (остаются восемь квадратов); затем этот процесс повторяется для каждого из этих восьми

В одном случае мы "вырезаем треугольники", а в другом — "вырезаем квадраты": треугольник Серпинского получается путем удаления треугольников из треугольника, тогда как ковёр Серпинского — путем удаления квадратов из квадрата. Хотя это звучит просто, такое небольшое различие приводит к совершенно разным итоговым узорам после многократной рекурсии

Различаются и методы рекурсии. Это становится особенно заметно, если проследить переход от первой итерации ко второй

Треугольник Серпинского: 1 треугольник → 3 треугольника → 9 треугольников → 27 треугольников → 81 треугольник. На каждом этапе количество треугольников увеличивается в 3 раза. △ → три меньших △ △ △; таким образом, характерная треугольная структура сохраняется.

Ковер Серпинского: 1 квадрат → 8 квадратов → 64 квадрата → 512 квадратов → 4096 квадратов. На каждом этапе количество квадратов увеличивается в 8 раз.

Хотя в обоих случаях происходит постоянное «вырезание отверстий», треугольник каждый раз сохраняет 3 фрагмента, тогда как ковер — 8. □ → восемь меньших □ □ □ □ □ □ □; поэтому итоговый результат больше напоминает математический ковер, пронизанный бесчисленным множеством отверстий.

Однако не стоит считать их совершенно несвязанными фракталами — на самом деле они очень похожи. Они строятся по одному принципу: простая фигура → деление → удаление части → повторение процесса для оставшихся фрагментов → усложнение структуры. Таким образом, ковер Серпинского и треугольник Серпинского можно рассматривать как две реализации одной и той же концепции «рекурсивного вырезания отверстий», примененной соответственно к треугольнику и квадрату.

Почему они так похожи? У них есть общая визуальная черта: бесконечное количество отверстий. В треугольнике Серпинского большой треугольник содержит треугольные отверстия меньшего размера, а в этих меньших треугольниках есть еще более мелкие отверстия. Ковер Серпинского представляет собой большой квадрат с квадратными отверстиями меньшего размера, внутри которых, в свою очередь, находятся еще более мелкие квадратные отверстия. В результате, по мере увеличения числа итераций, в обеих структурах формируется вложенный «мир отверстий».

Есть и интересное различие: у них разные «размерности».

Если вы хотите немного углубиться в математику, можно также рассмотреть их фрактальные размерности. На каждом шаге построения треугольник Серпинского превращается из одной фигуры в три, при этом длина стороны каждой из них уменьшается вдвое; таким образом, его фрактальная размерность составляет: log(3) / log(2) ≈ 1,585. Ковер Серпинского на каждом шаге превращается из одной фигуры в четыре, а длина стороны каждой уменьшается втрое; следовательно, его фрактальная размерность равна: log(8) / log(3) ≈ 1,893. Итак, ни один из них не является обычной «полноценной двумерной фигурой», но оба они гораздо сложнее простой линии

Почему стоит изучать эти два фрактала в паре? Сравнивая треугольник Серпинского с ковром Серпинского, вы обнаружите нечто удивительное: достаточно лишь изменить исходную фигуру и правила рекурсии, и получаемый мир станет совершенно иным. Треугольник (△ → △ → △ → ...) в итоге образует треугольник Серпинского. Квадрат (□ → □ → □ → ...) в итоге образует ковер Серпинского. Это наглядно иллюстрирует важнейшую концепцию фракталов: конечная форма определяется не просто «рекурсией», а конкретными фундаментальными правилами, которые вы выбираете

Чем он отличается от снежинки Коха?

Если вы недавно знакомились со снежинкой Коха, то заметите, что они довольно похожи. Обе фигуры строятся на основе простых форм, к которым рекурсивно применяются несложные правила для создания сложных структур. Однако направление их формирования совершенно различно.

Суть треугольника Серпинского заключается в постоянном удалении частей. Процесс начинается со сплошного треугольника, из которого многократно вырезается центральная часть: от сплошной фигуры → к появлению отверстия → к множеству отверстий → к бесконечному дроблению.

Напротив, в основе снежинки Коха лежит постоянное добавление элементов. Процесс начинается со стороны треугольника, к которой многократно добавляются новые ломаные линии: от простой стороны → к более сложной ломаной → к бесконечной детализации.

В одном случае происходит вырезание, а в другом — наращивание, но в итоге обе фигуры превращаются в сложные фрактальные структуры.

Чем она отличается от кривой Levi C?

Кривая C Леви непрерывно заменяет сегменты линий. Одна линия → две линии → четыре линии → восемь линий → …

Треугольник Шерпинского Продолжайте удалять треугольники. Один треугольник → три → девять → двадцать семь → …

Поэтому, хотя они оба используют рекурсию, они генерируются совершенно разными способами

Бесконечный мир внутри треугольника

Вернемся к самому началу.

Мы начинаем всего с одного треугольника. Затем убираем один. Потом три. Затем девять. Потом двадцать семь...

Каждый шаг невероятно прост. И все же в итоге обычный треугольник превращается в геометрический мир с бесконечным количеством слоев.

Можно приблизить изображение и увидеть треугольник. Приблизить еще раз — снова треугольник. И еще раз — опять треугольник. Но каждый раз он предстает в меньшем масштабе.

История треугольника Серпинского на самом деле проста: берем треугольник, делим его на четыре части, убираем центральную и повторяем этот процесс с оставшимися треугольниками. Повторяем, повторяем и повторяем снова. В конечном счете простой треугольник превращается в бесконечно сложный фрактал.

Здесь нет ни сложных формул, ни случайных процессов, и даже правил совсем немного — всего одно простое правило.

Но когда это правило повторяется достаточное количество раз, возникает сложность.

Продолжайте исследовать мир фракталов

Треугольник Серпинского — это классическая структура в мире фракталов.

Если вам нравится принцип «простые правила → непрерывное повторение → сложные узоры», возможно, вас также заинтересуют: снежинка Коха (чтобы увидеть, как простая грань обрастает деталями, образуя бесконечно сложную снежинку); C-кривая Леви (чтобы понаблюдать, как прямая линия постепенно «складывается» в сложную кривую благодаря простому генератору и рекурсии); кривая дракона (чтобы увидеть, как линия многократно складывается, превращаясь в загадочную фигуру, напоминающую дракона); или мозаика Пенроуза (чтобы узнать, как две простые фигуры могут покрыть поверхность по строгим правилам стыковки, создавая упорядоченный узор, который никогда не повторяется периодически).

Несмотря на различия в правилах построения, все они демонстрируют удивительный математический феномен: простота не означает скуку; одного простого правила, повторяемого многократно, достаточно для создания мира бесконечной сложности.

Вы также можете изучить другие удивительные математические фигуры или прочитать подробнее о треугольнике Серпинского в Википедии.