Explorez le triangle de Sierpinski

Le triangle de Sierpinski : comment un simple triangle se transforme-t-il en un monde infini de triangles ?

Imaginez que l'on vous donne un triangle plein ordinaire (▲). Si l'on vous demandait ce que vous obtiendriez en y découpant successivement des triangles, vous pourriez penser : « Ne finirait-on pas simplement par obtenir un triangle qui devient de plus en plus petit ? »

Mais ce n'est pas du tout le cas. Si vous appliquez de manière répétée une règle très simple — diviser le triangle en quatre triangles plus petits identiques et retirer celui qui se trouve au centre — vous n'obtenez pas un triangle ordinaire. Vous créez au contraire un motif géométrique fascinant, parsemé de trous, caractérisé par des couches imbriquées et une complexité infinie : le triangle de Sierpinski.

Tout commence par un triangle

La première étape est très simple : nous partons d'un seul triangle plein — le point de départ de tout le motif. Dans le langage de la construction fractale, il s'agit de la forme initiale (ou « germe »). À ce stade, il n'y a ni trous, ni structures complexes, ni motifs fractals : juste un triangle ordinaire.

Étape 1 : Le diviser en quatre triangles

Ensuite, nous trouvons les milieux des trois côtés du grand triangle et nous les relions. Cela divise le grand triangle d'origine en quatre triangles plus petits et identiques, à peu près comme le montre l'image ci-dessous. Fait important, un petit triangle inversé apparaît au centre.

Étape 2 : Poursuivre le découpage

Alors, la question se pose : le processus s'arrête-t-il là ? Non. Nous avons toujours trois petits triangles ; nous répétons donc l'opération précédente sur chacun d'eux. Chaque triangle est divisé en quatre et celui du centre est retiré ; ainsi, un triangle devient trois, puis neuf, puis vingt-sept, et ainsi de suite...

C'est ce qu'on appelle la récursion, et le concept est très simple : prenez l'action que vous venez d'effectuer et appliquez-la à nouveau aux nouveaux objets. La première fois, vous intervenez sur le grand triangle. La deuxième fois, vous intervenez sur les trois triangles plus petits restants. La troisième fois, vous intervenez sur les neuf triangles encore plus petits restants. La règle ne change jamais du début à la fin : il suffit de diviser en quatre parties, puis de retirer celle du milieu.

Comment une règle simple a-t-elle pu engendrer une telle complexité ?

Observez le nombre de triangles : 1 → 3 → 9 → 27 → 81 → 243 → ... À chaque itération, le nombre de triangles triple, tandis que la longueur du côté de chaque triangle est réduite de moitié. Par conséquent, le motif accumule de plus en plus de structures, alors même que chaque structure individuelle devient de plus en plus petite. Au final, vous voyez un grand triangle contenant des triangles plus petits, qui eux-mêmes en contiennent d'encore plus petits, et ainsi de suite. Si vous zoomez, d'autres triangles continuent d'apparaître. C'est l'aspect le plus fascinant.

Si vous considérez le motif dans son ensemble, vous voyez un unique et immense triangle. Mais si vous zoomez sur l'un de ses coins, vous découvrez une structure triangulaire similaire. Zoomez davantage, et vous en trouvez une autre. Zoomez encore, et une nouvelle apparaît. Théoriquement, ce processus peut se poursuivre indéfiniment. Il s'agit donc d'un exemple classique de structure autosimilaire.

Qu'est-ce que l'« autosimilarité » ?

Cela peut sembler complexe, mais on peut le comprendre simplement ainsi : le tout ressemble beaucoup à ses parties.

Le triangle de Sierpinski en est un exemple classique. Le motif dans son ensemble est un triangle composé de trois structures plus petites et similaires. Chacune de ces structures plus petites est, à son tour, constituée de trois structures encore plus petites. À mesure que le processus se poursuit, la même forme de base persiste. Ainsi, quelle que soit l'échelle à laquelle on l'observe, on retrouve des structures similaires. C'est le concept d'autosimilarité, qui est fondamental dans le monde des fractales.

En quoi diffère-t-il d'un triangle ordinaire ?

Un triangle ordinaire est plein à l'intérieur. Quel que soit l'endroit où l'on zoome, on obtient toujours une surface triangulaire continue et pleine.

À l'inverse, l'intérieur d'un triangle de Sierpinski est parsemé de vides. Ces vides ne sont pas disposés au hasard ; ils sont imbriqués les uns dans les autres : les grands vides contiennent des vides plus petits, qui eux-mêmes en contiennent d'encore plus petits. C'est ce processus de « creusement » qui le rend si unique. Imaginez que vous tenez une pelle mathématique spéciale : d'abord, vous creusez un triangle au centre du grand triangle. Ensuite, vous creusez un triangle au centre de chacun des trois triangles restants. Puis vous recommencez, encore et encore. À chaque fois, vous utilisez exactement la même pelle ; la seule chose qui change, c'est que les zones que vous évidez deviennent progressivement plus petites. Au final, ce qu'il reste est le triangle de Sierpinski.

Que se passerait-il si vous continuiez à creuser indéfiniment ?

C'est une question fascinante. Si l'on répétait ce processus à l'infini, la forme obtenue deviendrait véritablement extraordinaire.

Elle ne ressemble plus à un triangle ordinaire ; elle se transforme en un ensemble d'innombrables points et structures dont la taille diminue progressivement. Visuellement, elle reste très distincte, mais d'un point de vue mathématique, elle possède des propriétés tout à fait contre-intuitives.

L'une des plus célèbres est sa dimension fractale. La dimension fractale du triangle de Sierpinski est log(3) / log(2) ≈ 1,585. Cela signifie qu'il n'est ni aussi simple qu'une ligne classique, ni ne « remplit l'espace » autant qu'une surface plane pleine ; il occupe une position intermédiaire fascinante. Toutefois, si les fractales vous sont inconnues, nul besoin de saisir parfaitement ce nombre précis : il suffit de savoir que sa structure se situe quelque part entre la « ligne » et le « plan ».

Pourquoi n'est-il pas bidimensionnel ?

Bien que le triangle de Sierpinski conserve l'apparence d'un triangle, de vastes zones de son intérieur ont été supprimées. De plus, la quantité d'espace retiré ne cesse d'augmenter. À la limite d'une itération infinie, son aire tend vers zéro, alors même que sa structure demeure infiniment complexe. C'est un concept très contre-intuitif : l'aire peut se rapprocher toujours plus de zéro tandis que la structure gagne en complexité.

Où est passée l'aire ?

Calculons-la. Au départ, l'aire est de 100 %. Lors de la première étape, on retire le quart central, ce qui laisse les trois quarts. À la deuxième étape, on retire un quart de la partie restante, laissant 3/4 × 3/4. À la troisième étape, on multiplie à nouveau : 3/4 × 3/4 × 3/4. Ainsi, après *n* itérations, l'aire restante = (3/4)ⁿ. À mesure que *n* augmente, cette valeur se rapproche de plus en plus de zéro. En d'autres termes, si le processus se poursuit à l'infini, l'aire de la région restante tend vers zéro. Pourtant, le motif ne « disparaît » pas ; au contraire, il devient de plus en plus complexe.

« Taille » et « complexité » ne sont pas la même chose : c'est l'un des paradoxes les plus fascinants des fractales. Un objet peut diminuer de taille tout en devenant plus complexe. Il peut même présenter une infinité de niveaux de structure alors que son aire tend vers zéro. C'est précisément ce qui rend les mathématiques fractales si captivantes.

Ce n'est pas généré de manière aléatoire

En découvrant le triangle de Sierpinski pour la première fois, on peut se demander : « Ces petits triangles noirs et blancs sont-ils disposés au hasard ? » Loin de là.

La position de chaque vide est déterminée par une règle unique. Il n'y a ni nombres aléatoires, ni dessin manuel, ni plans complexes. Il n'existe qu'une seule règle : diviser en quatre, retirer celui du milieu, puis répéter le processus pour les parties restantes.

Il n'y a qu'une seule règle. Pour résumer le processus à sa forme la plus simple : Étape 1 : Commencez par un triangle. Étape 2 : Divisez-le en quatre triangles plus petits et identiques. Étape 3 : Retirez celui du milieu. Étape 4 : Appliquez la même opération aux trois triangles restants. Étape 5 : Recommencez. C'est tout. Aucune autre règle. Pourtant, le résultat est un motif d'une complexité infinie.

Vous pouvez même le générer à l'aide de pièces de monnaie

Le triangle de Sierpinski recèle un autre secret fascinant : il entretient un lien magnifique avec le triangle de Pascal. Si vous coloriez en noir les nombres impairs et laissez en blanc les nombres pairs au sein du triangle de Pascal, un immense triangle de Sierpinski finit par apparaître.

Qu'est-ce que cela signifie ? À première vue, le triangle de Pascal — 1, 1 1, 1 2 1, 1 3 3 1, 1 4 6 4 1... — ne semble être qu'une simple collection de nombres. Pourtant, le simple fait de distinguer les nombres pairs des nombres impairs fait apparaître le triangle de Sierpinski. En d'autres termes, un problème mathématique apparemment sans rapport dissimule cette même structure fractale. Cela met en lumière l'un des aspects merveilleux des mathématiques : des règles issues de domaines apparemment éloignés peuvent parfois engendrer des structures identiques.

En quoi diffère-t-il du tapis de Sierpinski ?

Si vous avez observé à la fois le triangle de Sierpinski et le tapis de Sierpinski, vous vous êtes peut-être dit : « Ne se ressemblent-ils pas beaucoup ? » En effet, ils partagent un concept fondamental : partir d'une forme simple et pleine, en retirer successivement des parties et appliquer la même règle aux sections restantes, ce qui en fait des exemples classiques de fractales récursives.

Cependant, ils diffèrent par leur « forme initiale » et leur « règle de découpe » : l'un commence par un triangle, tandis que l'autre débute par un carré ; c'est la distinction la plus intuitive.

Le triangle de Sierpinski part d'un triangle unique. À chaque étape, le triangle est divisé en quatre triangles plus petits et identiques, et celui du centre est retiré, laissant trois triangles ; le processus est ensuite répété sur ces trois triangles.

Le tapis de Sierpinski commence par un carré. Ce carré est divisé en une grille de 3 × 3 petits carrés identiques, et le carré central est retiré, laissant huit petits carrés ; le processus est ensuite répété sur ces huit carrés.

L'un implique de « découper des triangles » tandis que l'autre consiste à « découper des carrés » ; le triangle de Sierpinski repose sur le fait de retirer des triangles d'un triangle, alors que le tapis de Sierpinski consiste à retirer des carrés d'un carré. Bien que cela semble simple, cette différence subtile conduit à des motifs finaux totalement différents après plusieurs itérations récursives.

Leurs méthodes de récursion diffèrent également. Cela devient encore plus évident lorsque l'on visualise le passage de la première à la deuxième itération.

Triangle de Sierpinski : 1 triangle → 3 triangles → 9 triangles → 27 triangles → 81 triangles. Le nombre est multiplié par 3 à chaque étape. △ → trois △ △ △ plus petits ; la structure triangulaire caractéristique est ainsi préservée.

Tapis de Sierpinski : 1 carré → 8 carrés → 64 carrés → 512 carrés → 4096 carrés. Le nombre est multiplié par 8 à chaque étape.

Ainsi, bien que les deux procédés impliquent de « découper des trous » en continu, le triangle conserve 3 sous-régions à chaque fois, tandis que le tapis en conserve 8. □ → huit □ □ □ □ □ □ □ plus petits ; le résultat final ressemble donc davantage à un tapis mathématique percé d'une infinité de trous.

Cependant, ne les considérez pas comme des fractales totalement étrangères l'une à l'autre ; elles sont en réalité très similaires. Toutes deux suivent le même processus : forme simple → subdivision → retrait d'une partie → répétition sur les parties restantes → complexification croissante. Ainsi, le tapis de Sierpinski et le triangle de Sierpinski peuvent être vus comme deux déclinaisons d'un même concept de « découpe récursive de trous », appliqué respectivement à un triangle et à un carré.

Pourquoi se ressemblent-ils autant ? Parce qu'ils partagent une caractéristique visuelle commune : des trous à l'infini. Dans le triangle de Sierpinski, un grand triangle contient des trous triangulaires plus petits, et ces triangles plus petits contiennent eux-mêmes des trous encore plus petits. Le tapis de Sierpinski présente un grand carré comportant des trous carrés plus petits, qui contiennent à leur tour des trous carrés encore plus petits. Par conséquent, à mesure que le nombre d'itérations augmente, les deux structures développent un « monde de trous » imbriqués.

Il existe également une distinction intéressante : leurs « dimensions » diffèrent.

Si vous souhaitez approfondir l'aspect mathématique, vous pouvez également examiner leurs dimensions fractales. Le triangle de Sierpinski se transforme d'une forme unique en trois formes à chaque étape, tandis que la longueur de côté de chacune est réduite de moitié (1/2) ; sa dimension fractale est donc : log(3) / log(2) ≈ 1,585. Le tapis de Sierpinski passe d'une forme unique à quatre formes à chaque étape, alors que la longueur de côté de chacune est réduite au tiers (1/3) ; sa dimension fractale est donc : log(8) / log(3) ≈ 1,893. Ainsi, aucune de ces figures n'est une « forme bidimensionnelle pleine » ordinaire, et pourtant, toutes deux sont bien plus complexes qu'une simple ligne.

Pourquoi est-il intéressant d'explorer ces deux fractales conjointement ? En comparant le triangle de Sierpinski au tapis de Sierpinski, vous découvrirez quelque chose de fascinant : il suffit de modifier la forme initiale et les règles de récursion pour que l'univers qui en résulte devienne totalement différent. Un triangle — △ → △ → △ → ... — finit par former le triangle de Sierpinski. Un carré — □ → □ → □ → ... — finit par former le tapis de Sierpinski. Cela illustre un concept clé des fractales : ce qui détermine la forme finale, ce n'est pas simplement la « récursion », mais les règles fondamentales spécifiques que vous choisissez.

En quoi diffère-t-il du flocon de Koch ?

Si vous avez récemment étudié le flocon de Koch, vous remarquerez qu'ils sont assez similaires. Tous deux partent de formes simples et utilisent des règles élémentaires appliquées de manière récursive pour générer des structures complexes. Cependant, le sens de leur évolution est totalement différent.

L'essence du triangle de Sierpinski réside dans une suppression continue. En partant d'un triangle plein, on retire successivement la partie centrale ; le processus évolue ainsi : forme pleine → apparition d'un trou → multiplication des trous → subdivision infinie.

À l'inverse, le principe fondamental du flocon de Koch est l'ajout continu. En partant du côté d'un triangle, on ajoute de manière répétée de nouvelles lignes polygonales aux arêtes ; le processus évolue ainsi : arête simple → arête plus complexe → détails infinis.

L'un repose sur le principe du retrait de matière tandis que l'autre repose sur la croissance ; pourtant, tous deux aboutissent finalement à des structures fractales complexes.

En quoi diffère-t-elle de la courbe de Lévy C ?

La courbe de Lévy C repose sur le remplacement répété de segments de droite. Un segment → deux segments → quatre segments → huit segments → ...

Le triangle de Sierpinski repose sur le retrait répété de triangles. Un triangle → trois → neuf → vingt-sept → ...

Ainsi, bien que toutes deux fassent appel à la récursion, leurs méthodes de génération sont totalement différentes.

Un monde infini au sein d'un triangle

Revenons au tout début.

Nous partons d'un seul triangle. Puis nous en retirons un. Ensuite trois. Puis neuf. Puis vingt-sept...

Chaque étape est incroyablement simple. Pourtant, au bout du compte, un triangle ordinaire se transforme en un monde géométrique aux couches infinies.

Vous pouvez zoomer et voir un triangle. Zoomez encore : un autre triangle. Zoomez à nouveau : toujours un triangle. Pourtant, à chaque fois, il existe à une échelle plus petite.

L'histoire du triangle de Sierpinski est en fait très simple : partez d'un triangle, divisez-le en quatre, retirez celui du centre et répétez le processus sur les triangles restants. Répétez, répétez et répétez encore. Finalement, un simple triangle évolue en une fractale d'une complexité infinie.

Cela ne nécessite ni formules complexes, ni processus aléatoires, ni même beaucoup de règles : juste une règle simple.

Mais lorsque cette règle est répétée suffisamment de fois, la complexité émerge.

Continuez à explorer le monde des fractales

Le triangle de Sierpinski est une structure classique dans le monde des fractales.

Si vous appréciez le schéma règles simples → répétition continue → motifs complexes, vous voudrez peut-être aussi explorer le flocon de neige de Koch pour voir comment un simple segment accumule des détails vers l'extérieur pour former un flocon d'une complexité infinie ; la courbe de Lévy pour observer comment une ligne droite se « plie » progressivement en une courbe complexe grâce à un générateur simple et à la récursion ; la courbe du dragon pour voir comment une ligne simple se plie de manière répétée en une forme mystérieuse rappelant un dragon ; ou le pavage de Penrose pour découvrir comment deux formes de tuiles simples peuvent recouvrir une surface selon des règles d'assemblage strictes, créant un motif ordonné qui ne se répète jamais de manière périodique.

Bien que leurs règles diffèrent, elles illustrent toutes un phénomène mathématique fascinant : la simplicité n'est pas synonyme d'ennui ; une seule règle simple, répétée continuellement, suffit à créer un monde d'une complexité infinie.

Vous pouvez également explorer d'autres formes mathématiques étonnantes ou en savoir plus sur le triangle de Sierpinski sur Wikipédia.