Exploration du pavage de Penrose

Le pavage de Penrose : deux formes, un monde qui ne se répète jamais

Si l'on vous donnait un tas de carrés, vous pourriez facilement les disposer ainsi :

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Que vous l'étendiez vers la gauche, la droite, le haut ou le bas, quelle que soit la taille du pavage, vous constaterez que le motif se répète constamment.

La question se pose alors : est-il possible de paver un plan entier en utilisant seulement quelques formes, sans que le motif ne se répète jamais vraiment ? La réponse est oui, et cela ne nécessite que deux types de tuiles.

C'est ce qu'on appelle le célèbre pavage de Penrose.

Qu'est-ce que le « pavage » ?

Ne compliquons pas les choses : le « pavage » est un concept très simple qui consiste à recouvrir entièrement une surface plane avec des formes spécifiques, sans laisser d'espace vide ni créer de chevauchement.

Les carrés, par exemple, s'y prêtent parfaitement ; en les répétant, on peut paver une surface à l'infini. Ce type de motif est appelé pavage périodique, car l'ensemble du motif peut être généré simplement en copiant et en déplaçant une seule petite section.

Dans les années 1960 et 1970, des mathématiciens ont commencé à étudier une question fascinante : est-il possible de paver un plan entier en utilisant un nombre fini de formes, tout en garantissant que le motif ne se répète jamais de manière périodique ?

Les premières solutions nécessitaient un très grand nombre de formes différentes. Plus tard, dans les années 1970, le mathématicien et physicien britannique Roger Penrose a proposé une solution élégante. L'une des plus célèbres ne requiert que deux types de tuiles : c'est ce que l'on appelle aujourd'hui le pavage de Penrose.

Deux briques étranges

Commençons par les types les plus classiques : les tuiles « cerf-volant » et « fléchette ». Ce sont toutes deux des quadrilatères, mais elles ont des formes différentes.

La tuile « cerf-volant » est un quadrilatère convexe dont les angles intérieurs mesurent 72°, 72°, 72° et 144° ; elle ressemble effectivement à un cerf-volant.

La tuile en forme de "fléchette" est encore plus singulière ; il s'agit d'un quadrilatère concave dont les angles intérieurs mesurent 36°, 72°, 36° et 216°. Cet angle de 216° forme un sommet distinct pointant vers l'intérieur.

Toutefois, disposer de ces deux seuls types de tuiles ne suffit pas — et c'est là tout l'intérêt du pavage de Penrose. Si l'on se contentait d'assembler les tuiles "cerf-volant" et "fléchette" au hasard, on pourrait effectivement créer un motif périodique. La véritable magie ne réside donc pas uniquement dans les deux formes elles-mêmes, mais dans le fait qu'elles doivent respecter des règles d'assemblage spécifiques. On les appelle les règles d'appariement.

En quoi consistent ces règles d'appariement ? Imaginez que les bords de chaque tuile comportent de petites flèches ou des repères colorés, et que les tuiles adjacentes doivent s'assembler d'une manière précise. Si l'assemblage ne correspond pas, les tuiles ne peuvent pas être disposées ainsi. Cela peut sembler être une contrainte mineure, mais c'est précisément cette restriction qui empêche le motif de se répéter de manière périodique.

À proprement parler, le cerf-volant et la fléchette — deux quadrilatères ordinaires — pourraient à eux seuls produire un pavage périodique. Ce qui les transforme en un pavage apériodique de Penrose, c'est la combinaison de la forme et des règles d'appariement. Ces règles peuvent même être intégrées physiquement aux bords des tuiles — par exemple, en créant des encoches et des languettes — ce qui "force" les tuiles à s'assembler de la manière requise.

Nous commençons à le mettre en place dès maintenant.

Commençons maintenant le pavage. Placez un carreau en forme de cerf-volant, puis un carreau en forme de fléchette, puis un autre cerf-volant, puis une autre fléchette...

Vous remarquerez qu'ils commencent à former de magnifiques motifs — évoquant parfois des étoiles à cinq branches, des soleils ou des fleurs, et rappelant à d'autres moments les ornements d'une civilisation ancienne. Ces motifs semblent très ordonnés.

Mais ils ne se répètent jamais vraiment ; c'est là tout l'aspect magique du pavage de Penrose.

En observant une section, vous pourriez vous dire : "Ce motif ne me serait-il pas familier ?" Et en effet, vous reconnaîtrez des structures similaires : étoiles, fleurs et motifs locaux. Pourtant, vous ne trouverez jamais un motif de base unique et fixe qu'il suffirait de copier et de décaler pour paver tout le plan. En d'autres termes : il y a de l'ordre, mais aucune périodicité.

Cela semble répétitif sans l'être pour autant ; c'est ce qui rend le pavage de Penrose si fascinant. Avec des carreaux ordinaires, la séquence est : motif → répétition → répétition → répétition. Avec les carreaux de Penrose, c'est : motif → variation → variation → variation. Ce n'est pas pour autant aléatoire, bien au contraire : le placement de chaque carreau obéit à des règles strictes. Le résultat est un univers ordonné, mais sans répétition.

Ce n'est pas un motif aléatoire.

En découvrant le pavage de Penrose, certains pourraient penser : "Ne s'agit-il pas simplement d'assembler au hasard deux types de tuiles ?"

Pas du tout. Si elles étaient disposées de manière aléatoire, on se retrouverait rapidement face à des vides et des chevauchements, on enfreindrait les règles d'assemblage et on romprait la structure globale.

Le pavage de Penrose est strictement régi par des règles. On ne peut pas disposer les tuiles à sa guise ; de nombreuses contraintes s'imposent à chaque étape. Pourtant, le résultat n'est pas un simple motif périodique.

Le pavage de Penrose n'est pas aléatoire ; il possède une structure géométrique profonde. Un élément clé ici est le nombre d'or — noté φ ≈ 1,618 — qui régit bon nombre des relations géométriques au sein du pavage. Par exemple, le nombre d'or intervient dans le rapport entre les longueurs des côtés des tuiles en forme de « cerf-volant » et de « fléchette ». Ainsi, bien que le motif ne se répète jamais, il est loin d'être chaotique ; il repose sur des proportions mathématiques rigoureuses.

Si vous examinez attentivement un pavage de Penrose, vous y verrez souvent des étoiles à cinq branches. Cela s'explique par le fait que sa géométrie est intimement liée aux pentagones et à la symétrie de rotation d'ordre 5 — et les pentagones, à leur tour, entretiennent un lien profond avec le nombre d'or. Par conséquent, le nombre d'or, les pentagones, les étoiles à cinq branches et le pavage de Penrose apparaissent fréquemment ensemble. Le pavage de Penrose peut même présenter une symétrie de rotation d'ordre 5 sans pour autant posséder de périodicité par translation.

Une symétrie sans répétition : c'est peut-être l'une des plus belles caractéristiques du pavage de Penrose. Nous associons souvent, par instinct, la symétrie à la répétition, mais le pavage de Penrose démontre qu'il s'agit de deux choses bien distinctes. Un motif peut être hautement symétrique tout en ne se répétant jamais de manière périodique ; il incarne un univers géométrique qui défie notre intuition.

Imaginez-vous dans un monde infini régi par le pavage de Penrose, marchant sans fin. Vous rencontrerez constamment de nouveaux motifs. Vous pourriez tomber sur une étoile à cinq branches, puis sur une autre, et apercevoir plus loin des structures similaires. Pourtant, vous n'atteindrez jamais le point où vous pourrez dire : « Voilà, à partir d'ici, le motif est exactement le même qu'auparavant. » En l'absence de période fixe, ce monde est infini et ordonné, mais il ne se répète jamais de façon mécanique.

Règles locales, créant des structures infinies.

En réalité, il en existe plusieurs versions. Si vous recherchez des pavages de Penrose en ligne, vous pourriez tomber sur la combinaison losange mince et losange épais — une autre forme classique appelée P3 — alors que les tuiles en forme de cerf-volant et de fléchette appartiennent à la catégorie P2. Il existe également une forme antérieure, la P1. À proprement parler, le pavage de Penrose ne constitue donc pas un motif unique et figé, mais une famille de pavages apériodiques obéissant à des règles spécifiques.

Une question fascinante se pose alors : comment deux types de tuiles peuvent-ils recouvrir un plan infini ? On peut légitimement se demander : « Si le motif ne se répète pas, comment être certain qu'il ne restera aucun vide ? » C'est là toute l'ingéniosité du pavage de Penrose. Les règles d'assemblage ne se contentent pas d'indiquer où une tuile ne peut pas être placée ; à mesure que le pavage progresse, elles restreignent progressivement les choix futurs. La pose d'une tuile impose des contraintes à la zone environnante ; la tuile suivante se trouve alors contrainte, tout comme celle qui lui succède. En fin de compte, la structure infinie dans son ensemble est régie par un ensemble de règles locales.

C'est sans doute l'aspect le plus stimulant pour l'esprit. Il suffit d'observer la manière dont les tuiles voisines immédiates s'assemblent ; nul besoin d'un immense « plan directeur » dictant l'apparence de l'univers tout entier. Le simple respect de règles locales engendre, par effet cumulatif, un ensemble infiniment vaste, apériodique et hautement ordonné. Cela rappelle les fractales : un tout complexe peut émerger de règles locales simples.

Cependant, le pavage de Penrose n'est pas une fractale ; il ne s'agit pas du même type d'objet mathématique que l'ensemble de Mandelbrot ou le flocon de Koch.

Le flocon de Koch accumule des détails grâce à une récursion continue ; son essence réside dans la récursion, répondant à la question : « Que devient une forme simple lorsqu'elle est soumise à une récursion infinie ? »

À l'inverse, le pavage de Penrose organise un plan infini selon des règles de pavage ; son essence repose sur un pavage apériodique combiné à des règles d'assemblage. Il s'agit donc davantage de se demander : « Un ensemble fini de formes peut-il constituer un monde infini qui ne se répète jamais ? »

En quoi diffère-t-elle des mosaïques ordinaires ?

Les mosaïques ordinaires reposent généralement sur la répétition. Par exemple : ◇◇◇◇ ◇◇◇◇ ◇◇◇◇. Vous identifiez une petite unité — ◇ — et vous la copiez simplement à l'infini.

Le pavage de Penrose est tout l'opposé ; il est impossible de trouver une petite unité finie que l'on pourrait simplement copier → décaler → copier → décaler pour recouvrir tout le plan. Ainsi, il ressemble à un motif décoratif, mais il est dépourvu des unités répétitives simples que l'on trouve dans les motifs décoratifs classiques.

Plus étonnant encore : il a amené les physiciens à repenser la nature des cristaux

Le pavage de Penrose est bien plus qu'un simple et beau jeu mathématique.

En 1984, le physicien israélien Dan Shechtman a découvert des matériaux dotés d'une structure de quasi-cristal — une découverte qui lui a valu le prix Nobel de chimie en 2011. Ces matériaux possèdent une structure ordonnée, mais sont dépourvus de la périodicité standard observée dans les cristaux conventionnels. Le pavage quasi-périodique de Penrose est par la suite devenu un modèle mathématique clé pour comprendre de telles structures.

Ainsi, un problème qui semblait n'être qu'un simple motif décoratif mathématique s'est révélé avoir un lien avec le monde physique réel.

Un monde qui ne se répète jamais

Si l'on examine le pavage de Penrose, on constate qu'il repose sur deux formes de tuiles de base seulement, régies par des règles simples. Pourtant, à mesure que l'on étend le pavage à l'infini, le motif ne se fige pas dans une séquence simple de type ABABABAB... et ne se réduit pas non plus à un petit motif unique reproduit à l'infini. Au contraire, il conserve un ordre constant sans jamais véritablement se répéter ; c'est précisément ce qui rend le pavage de Penrose si fascinant.

Vous pouvez chercher vous-même une « répétition » — en zoomant, en dézoomant ou en déplaçant votre regard — tout en vous demandant : « Ai-je déjà vu cette partie ? » Vous trouverez peut-être des sections similaires ou même des motifs finis identiques, mais vous ne trouverez jamais d'unité périodique susceptible d'être reproduite par translation à l'infini, car c'est un monde qui ne se répète jamais.

Cela tient peut-être au fait qu'il possède deux qualités apparemment contradictoires : l'ordre et la liberté. Il n'est pas aléatoire — chaque tuile obéit à une règle — et pourtant, il n'est pas mécaniquement répétitif, étant dépourvu de cycle simple. Il suit un motif sans se répéter ; il présente une symétrie sans périodicité par translation ; et, avec seulement deux types de tuiles, il crée un monde d'une complexité infinie.

Tout commence avec deux tuiles

Tout commence par deux formes géométriques d'apparence modeste : la tuile en forme de « cerf-volant » et celle en forme de « fléchette ». On leur applique ensuite des règles d'assemblage spécifiques. À partir de là — première tuile, deuxième tuile, troisième tuile... — le motif se développe et s'étend toujours plus loin. En fin de compte, ces deux tuiles permettent de recouvrir un plan infini tout entier.

Pourtant, si vous tentez de trouver un cycle répétitif fixe, vous n'y parviendrez jamais. C'est parce que ce monde a été conçu dès le départ pour progresser indéfiniment sans jamais se répéter. C'est cela, le pavage de Penrose.

Continuez à explorer le monde de la géométrie

Le pavage de Penrose constitue un univers mathématique véritablement unique.

Si vous appréciez de voir comment des règles simples donnent naissance à des structures complexes, vous aimerez peut-être aussi explorer le flocon de neige de Koch — pour observer comment un simple segment se transforme, par récursion, en un flocon mathématique d'une complexité infinie. Ou encore la courbe en C de Lévy, où une ligne droite se replie de manière répétée grâce à un générateur simple pour créer une structure fractale complexe. Ou la courbe du dragon, pour voir comment une ligne se replie continuellement pour former un motif fractal élaboré. Et enfin, le tamis d'Apollonius, où les espaces entre les cercles donnent naissance à des cercles toujours plus petits.

Bien qu'ils explorent des concepts différents, ils véhiculent tous le même message : l'ordre mathématique n'implique pas nécessairement la répétition ; parfois, les mondes les plus époustouflants sont ceux qui suivent des règles cohérentes tout en ne se répétant jamais exactement.

Vous pouvez également découvrir d'autres formes mathématiques fascinantes ou en savoir plus sur le pavage de Penrose sur Wikipédia.