Explorando el teselado de Penrose

Teselado de Penrose: dos formas, un mundo que nunca se repite

Si te dieran un montón de cuadrados, podrías organizarlos fácilmente así:

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Al extenderlo hacia la izquierda, la derecha, arriba y abajo —sin importar cuán grande llegue a ser el teselado—, verás que el patrón se repite constantemente.

Entonces, surge la pregunta: ¿es posible cubrir un plano entero utilizando solo unas pocas formas sin que el patrón se repita realmente nunca? La respuesta es sí, y solo se requieren dos tipos de piezas.

Se trata del famoso teselado de Penrose.

¿Qué es el «teselado»?

No compliquemos las cosas; el «teselado» es, en realidad, un concepto muy sencillo: consiste en tomar formas específicas y cubrir con ellas toda una superficie plana, sin dejar huecos y asegurándose de que no se superpongan.

Los cuadrados, por ejemplo, facilitan mucho esta tarea; al repetirlos, se puede teselar infinitamente. Este tipo de patrón se denomina teselado periódico, ya que todo el diseño puede generarse simplemente copiando y desplazando una pequeña sección.

En las décadas de 1960 y 1970, los matemáticos comenzaron a investigar una cuestión fascinante: ¿es posible teselar un plano completo utilizando únicamente un número finito de formas, asegurándose al mismo tiempo de que el patrón nunca se repita de forma periódica?

Las primeras soluciones requerían una gran cantidad de formas distintas. Más tarde, en la década de 1970, el matemático y físico británico Roger Penrose propuso una solución elegante. Una de las más famosas requiere solo dos tipos de piezas: lo que llegó a conocerse como teselado de Penrose.

Dos ladrillos extraños

Empecemos por los tipos más clásicos: la pieza tipo 'cometa' y la pieza tipo 'dardo'. Ambas son cuadriláteros, pero tienen formas diferentes.

La pieza tipo cometa es un cuadrilátero convexo con ángulos interiores de 72°, 72°, 72° y 144°; se parece exactamente a una cometa.

La pieza tipo 'dardo' es aún más inusual; se trata de un cuadrilátero cóncavo con ángulos interiores de 36°, 72°, 36° y 216°. Ese ángulo de 216° crea un vértice distintivo que apunta hacia el interior.

Sin embargo, contar únicamente con estos dos tipos de piezas no basta; este es el aspecto crucial del teselado de Penrose. Si uno simplemente uniera las piezas tipo 'cometa' y 'dardo' al azar, podría llegar a crear un patrón periódico. Por tanto, la verdadera magia no reside simplemente en las 'dos ​​formas' en sí, sino en el hecho de que deben seguir reglas de conexión específicas. Estas se conocen como reglas de emparejamiento.

¿En qué consisten las reglas de emparejamiento? Imagine que los bordes de cada pieza presentan pequeñas flechas o marcas de color, y que las piezas adyacentes deben conectarse de una manera determinada. Si la conexión no encaja correctamente, las piezas no pueden colocarse de esa forma. Puede parecer una restricción menor, pero es precisamente esta limitación la que impide que el patrón se repita de forma periódica.

En sentido estricto, la cometa y el dardo —dos cuadriláteros comunes— podrían, por sí solos, generar un teselado periódico. Lo que los convierte en un teselado aperiódico de Penrose es la combinación de forma y reglas de emparejamiento. Estas reglas pueden incluso incorporarse físicamente a los bordes de las piezas —por ejemplo, mediante pestañas y ranuras—, 'obligando' así a las piezas a conectarse de la manera requerida.

Ahora, empecemos a colocar las teselas

Ahora, empecemos a colocar las teselas. Coloca una pieza con forma de cometa, luego una con forma de dardo, después otra de cometa, luego otra de dardo...

Notarás que empiezan a formarse patrones hermosos: a veces recuerdan a estrellas de cinco puntas, soles o flores, y otras veces parecen motivos decorativos de una civilización antigua. Los patrones parecen estar muy estructurados.

Pero nunca se repiten realmente; ese es el aspecto más mágico de los mosaicos de Penrose.

Podrías mirar una sección y pensar: «¿No he visto este patrón antes?». En efecto, verás estructuras similares: estrellas, flores y motivos locales. Sin embargo, nunca encontrarás una unidad de patrón única y fija que simplemente se pueda copiar y desplazar para cubrir todo el plano. En otras palabras: tiene orden, pero carece de periodicidad.

Parece una repetición, pero no hay repetición real; eso es lo que hace que los mosaicos de Penrose sean tan fascinantes. Con las baldosas comunes, la secuencia es: patrón → repetición → repetición → repetición. Con los mosaicos de Penrose, es: patrón → variación → variación → variación. No obstante, no es algo aleatorio; al contrario, la colocación de cada pieza se rige por reglas estrictas. El resultado es un mundo ordenado, pero que no se repite.

No es un patrón aleatorio.

Al ver por primera vez un teselado de Penrose, algunos podrían pensar: '¿No se trata simplemente de unir al azar dos tipos de baldosas?'

En absoluto. Si se colocaran al azar, rápidamente surgirían huecos y superposiciones, se incumplirían las reglas de encaje y se alteraría la estructura general.

El teselado de Penrose se rige por normas estrictas. No se pueden colocar las piezas simplemente como uno quiera; existen numerosas restricciones en cada paso. Sin embargo, a pesar de ello, el resultado no es un patrón periódico simple.

El teselado de Penrose no es aleatorio; posee una profunda estructura geométrica. Un elemento clave aquí es el número áureo —denotado como φ ≈ 1,618—, que rige muchas de las relaciones geométricas dentro del teselado. Por ejemplo, el número áureo aparece en la relación entre las longitudes de los lados de las piezas llamadas 'cometa' (*kite*) y 'dardo' (*dart*). Así, aunque el patrón nunca se repite, está lejos de ser caótico; se sustenta en proporciones matemáticas estrictas.

Si se examina de cerca el teselado de Penrose, a menudo se observan estrellas de cinco puntas. Esto se debe a que su geometría está íntimamente ligada a los pentágonos y a la simetría rotacional de orden cinco; y los pentágonos, a su vez, guardan una profunda conexión con el número áureo. En consecuencia, el número áureo, los pentágonos, las estrellas de cinco puntas y el teselado de Penrose aparecen frecuentemente juntos. El teselado de Penrose puede incluso exhibir simetría rotacional de orden cinco sin poseer periodicidad traslacional.

Simetría sin repetición: esta es quizás una de las características más bellas del teselado de Penrose. A menudo asociamos instintivamente la simetría con la repetición, pero el teselado de Penrose demuestra que no son lo mismo. Un patrón puede ser altamente simétrico y, sin embargo, no repetirse nunca de forma periódica; representa un ámbito geométrico que desafía nuestra intuición.

Imagínese en un mundo infinito de Penrose, caminando sin cesar. Encontrará constantemente nuevos patrones. Podría toparse con una estrella de cinco puntas, luego con otra, y más tarde ver estructuras similares. Sin embargo, nunca llegará a un punto en el que pueda decir: «Bien, a partir de aquí, el patrón es exactamente igual al anterior». Al no existir un periodo fijo, este mundo es infinito y ordenado, pero nunca se repite de manera mecánica.

Reglas locales que crean estructuras infinitas.

En realidad, existe más de una versión. Si buscas información sobre el teselado de Penrose en internet, es posible que encuentres la combinación de rombos finos y gruesos —otra forma clásica conocida como P3—, mientras que las piezas con forma de cometa y dardo pertenecen a la categoría P2. También existe una forma anterior, la P1. Por tanto, en sentido estricto, el teselado de Penrose no es un patrón único y fijo, sino una familia de teselados aperiódicos que siguen reglas específicas.

Surge una pregunta fascinante: ¿cómo pueden dos únicos tipos de piezas cubrir un plano infinito? Es natural preguntarse: «Si el patrón no se repite, ¿cómo podemos estar seguros de que no quedarán huecos?». Aquí reside precisamente la genialidad del teselado de Penrose. Las reglas de encaje hacen algo más que dictar dónde no se puede colocar una pieza; a medida que avanza el teselado, restringen progresivamente las opciones futuras. La colocación de una pieza impone restricciones en el área circundante; esto condiciona la siguiente pieza y, a su vez, la posterior. En última instancia, toda la estructura infinita se organiza mediante un conjunto de reglas locales.

Este es quizás el aspecto más sugerente del teselado de Penrose. Basta con observar cómo conectan las piezas vecinas inmediatas; no hace falta un enorme «mapa maestro» que dicte el aspecto de todo el universo. El simple cumplimiento de reglas locales genera, mediante su efecto acumulativo, un todo infinitamente grande, aperiódico y altamente ordenado. Guarda cierto parecido con los fractales: un todo complejo puede surgir de reglas locales simples.

Sin embargo, el teselado de Penrose no es un fractal; no es el mismo tipo de objeto matemático que el conjunto de Mandelbrot o el copo de nieve de Koch.

El copo de nieve de Koch acumula detalles mediante una recursividad continua; su esencia es la recursividad, planteando la pregunta: «¿En qué se convierte una forma simple cuando se somete a una recursividad infinita?»

En cambio, el teselado de Penrose organiza un plano infinito basándose en reglas de teselado; su esencia reside en el teselado aperiódico combinado con reglas de encaje. Así, se asemeja más a la pregunta: «¿Puede un conjunto finito de formas crear un mundo infinito que nunca se repite?»

¿En qué se diferencia de los mosaicos convencionales?

Los mosaicos convencionales suelen basarse en la repetición. Por ejemplo: ◇◇◇◇ ◇◇◇◇ ◇◇◇◇. Se identifica una unidad pequeña —◇— y simplemente se copia una y otra vez.

El teselado de Penrose es justo lo contrario; no existe una unidad pequeña y finita que pueda simplemente copiarse → desplazarse → copiarse → desplazarse para cubrir todo el plano. Así, parece un patrón decorativo, pero carece de las unidades repetitivas simples que se encuentran en los diseños decorativos habituales.

Aún más sorprendente: llevó a los físicos a replantearse la naturaleza de los cristales

El teselado de Penrose es más que un simple y hermoso juego matemático.

En 1984, el físico israelí Dan Shechtman descubrió materiales con una estructura de cuasicristal, un hallazgo que le valió el Premio Nobel de Química en 2011. Estos materiales poseen una estructura ordenada, pero carecen de la periodicidad estándar propia de los cristales convencionales. El teselado cuasiperiódico de Penrose se convirtió posteriormente en un modelo matemático clave para comprender dichas estructuras.

De este modo, un problema que parecía ser meramente un patrón decorativo matemático resultó tener una conexión con el mundo físico real.

Un mundo que nunca se repite

Si observamos el teselado de Penrose, veremos que consta de solo dos formas básicas de baldosas regidas por reglas sencillas. Sin embargo, a medida que cubrimos el plano hasta el infinito, el patrón no se asienta en una secuencia simple del tipo ABABABAB..., ni se convierte en un único motivo pequeño copiado sin fin. En cambio, mantiene un orden constante sin llegar a repetirse nunca; y eso es precisamente lo que hace que el teselado de Penrose sea tan fascinante.

Puedes buscar la «repetición» por tu cuenta —acercando o alejando la imagen y desplazando la vista— mientras te preguntas: «¿He visto esta parte antes?». Es posible que encuentres secciones similares o incluso patrones finitos idénticos, pero nunca hallarás una unidad periódica que pueda trasladarse indefinidamente, porque es un mundo que nunca se repite.

Quizás esto se deba a que posee dos cualidades aparentemente contradictorias: orden y libertad. No es aleatorio —cada baldosa sigue una regla—, pero tampoco es mecánicamente repetitivo, ya que carece de ciclos simples. Sigue un patrón sin repetirse; exhibe simetría sin periodicidad traslacional; y, con solo dos tipos de baldosas, crea un mundo de infinita complejidad.

Empezando con dos baldosas

Todo comienza con dos formas geométricas sencillas: la baldosa con forma de «cometa» y la baldosa con forma de «dardo». A continuación, aplicamos unas reglas de encaje específicas. A partir de ahí —primera baldosa, segunda baldosa, tercera baldosa...—, el patrón crece y se extiende cada vez más. En última instancia, estas dos baldosas pueden cubrir un plano infinito.

Sin embargo, si intentas encontrar un ciclo repetitivo fijo, nunca lo lograrás. Esto se debe a que este mundo fue diseñado desde el principio para avanzar eternamente sin repetirse jamás. Esto es el teselado de Penrose.

Sigue explorando el mundo de la geometría

El teselado de Penrose representa un ámbito matemático verdaderamente único.

Si disfrutas de la experiencia de ver cómo reglas simples dan lugar a estructuras complejas, quizás quieras explorar también el copo de nieve de Koch —observando cómo un simple segmento se transforma, mediante recursividad, en un copo de nieve matemático de complejidad infinita—. O la curva C de Lévy, donde una línea recta se pliega repetidamente siguiendo un generador simple para crear una estructura fractal compleja. O la curva del dragón, viendo cómo una línea se pliega continuamente para formar un intrincado patrón fractal. Y, por último, el empaquetamiento de Apolonio, donde los espacios entre círculos dan origen a círculos cada vez más pequeños.

Aunque exploran conceptos diferentes, todos transmiten el mismo mensaje: El orden matemático no implica necesariamente repetición; a veces, los mundos más fascinantes son aquellos que siguen reglas coherentes pero nunca se repiten exactamente.

También puedes ver más formas matemáticas fascinantes o leer más sobre el teselado de Penrose en Wikipedia.