Explorando o Mosaico de Penrose

Pavimentação de Penrose: Duas formas, um mundo que nunca se repete

Se você recebesse uma pilha de quadrados, poderia facilmente organizá-los assim:

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Ao expandir para a esquerda, direita, cima e baixo — não importa o tamanho que a pavimentação atinja —, você perceberá que o padrão se repete constantemente.

Então, surge a pergunta: é possível pavimentar um plano inteiro usando apenas algumas formas sem que o padrão jamais se repita verdadeiramente? A resposta é sim — e são necessários apenas dois tipos de peças.

Essa é a famosa pavimentação de Penrose.

O que é “pavimentação”?

Não vamos complicar demais as coisas; a “pavimentação” é, na verdade, um conceito muito simples: pegar formas específicas e cobrir toda uma superfície plana com elas, sem deixar lacunas e garantindo que não se sobreponham.

Quadrados, por exemplo, tornam isso muito fácil; ao repeti-los, é possível pavimentar infinitamente. Esse tipo de padrão é chamado de pavimentação periódica, em que todo o padrão pode ser gerado simplesmente copiando e deslocando uma única seção pequena.

Nas décadas de 1960 e 1970, matemáticos começaram a investigar uma questão fascinante: é possível pavimentar um plano inteiro usando apenas um número finito de formas de peças, garantindo que o padrão nunca se repita periodicamente?

As primeiras soluções exigiam um grande número de formas de peças diferentes. Mais tarde, na década de 1970, o matemático e físico britânico Roger Penrose propôs uma solução elegante. Uma das mais famosas exige apenas dois tipos de peças — o que ficou conhecido como pavimentação de Penrose.

Dois tijolos estranhos

Vamos começar pelos tipos mais clássicos: a peça 'pipa' e a peça 'dardo'. Ambas são quadriláteros, mas têm formatos diferentes.

A peça 'pipa' é um quadrilátero convexo com ângulos internos de 72°, 72°, 72° e 144°; ela se parece exatamente com uma pipa.

A peça 'dardo' é mais incomum; é um quadrilátero côncavo com ângulos internos de 36°, 72°, 36° e 216°. Esse ângulo de 216° cria uma ponta aguda que claramente se volta para dentro.

No entanto, ter apenas esses dois tipos de peças não é suficiente; esse é o aspecto crucial da pavimentação de Penrose. Se você simplesmente juntasse as peças do tipo 'pipa' (*kite*) e 'dardo' (*dart*) de forma aleatória, poderia acabar criando um padrão periódico. Assim, a verdadeira mágica não reside apenas nas 'duas formas' em si, mas no fato de que elas devem obedecer a regras de conexão específicas. Essas são conhecidas como regras de encaixe.

O que são exatamente as regras de encaixe? Imagine que as bordas de cada peça apresentem pequenas setas ou marcas coloridas, determinando que peças adjacentes devem se conectar de uma maneira específica. Se a conexão não estiver em conformidade com essas regras, as peças não poderão ser posicionadas juntas dessa forma. Embora isso possa parecer uma restrição menor, é precisamente essa limitação que impede que o padrão se repita periodicamente.

A rigor, as peças 'pipa' e 'dardo' — por serem quadriláteros comuns — poderiam, por si sós, produzir uma pavimentação periódica. O que as transforma em uma pavimentação aperiódica de Penrose é a combinação de forma e regras de encaixe. Essas regras de encaixe podem até ser incorporadas fisicamente às bordas das peças — por exemplo, criando saliências e reentrâncias —, 'forçando', assim, que as peças se conectem apenas da maneira prescrita.

Estamos começando a definir as bases agora.

Agora vamos começar a assentar. Coloque um tijolo em forma de pipa, depois um tijolo em forma de dardo, depois um tijolo em forma de pipa, depois um tijolo em forma de dardo...

Você descobrirá que eles começam a formar padrões muito bonitos, às vezes como estrelas de cinco pontas, às vezes como o sol, às vezes como flores, às vezes como os padrões decorativos de alguma civilização antiga. E os padrões parecem muito regulares.

Mas nunca se repete, o que é a coisa mais mágica em todos os ladrilhos de Penrose.

Você pode olhar para isso e pensar: 'Será que já não vi esses padrões em algum lugar antes?' De fato, você notará estruturas semelhantes, estrelas, flores e motivos locais. No entanto, nunca encontrará um padrão pequeno, único e fixo que possa ser simplesmente copiado e deslocado para cobrir todo o plano. Em outras palavras: possui ordem, mas carece de periodicidade.

Parece repetitivo, mas não é — e é precisamente isso que torna a pavimentação de Penrose tão fascinante. Com peças comuns, a sequência é: padrão → repetição → repetição → repetição. Com a pavimentação de Penrose, é: padrão → variação → variação → variação. Contudo, não é aleatório; pelo contrário, a colocação de cada peça é regida por regras rigorosas. O resultado é um mundo que é ordenado, porém não repetitivo.

Não é um padrão aleatório

Ao ver Penrose colocando tijolos pela primeira vez, algumas pessoas podem pensar: “Não são apenas dois tipos de tijolos reunidos aleatoriamente? "

De jeito nenhum. Se for realmente colocado aleatoriamente, você logo terá lacunas e sobreposições, violando as regras de correspondência e destruindo a estrutura geral.

O ladrilho Penrose é altamente governado por regras. Você não pode simplesmente estabelecê-lo e há muitas restrições em cada etapa. Mas mesmo assim, não acaba sendo um ciclo simples.

O ladrilho Penrose não é aleatório, tem uma estrutura geométrica muito profunda. Um dos números muito importantes é a proporção áurea, que é φ ≈ 1,618Muitas relações geométricas no ladrilho Penrose estão relacionadas à proporção áurea. Por exemplo, na construção de tijolos em forma de pipa e tijolos em forma de dardo, há uma relação de proporção áurea entre os comprimentos laterais. Portanto, você descobrirá que, embora o padrão nunca se repete, não é desordenado, há uma proporção matemática muito rígida por trás disso

Se você olhar atentamente para os ladrilhos de Penrose, muitas vezes verá uma estrela de cinco pontas. Isso ocorre porque sua geometria está intimamente relacionada ao pentágono e à simetria rotacional quíntupla. E o pentágono está profundamente relacionado à proporção áurea. Portanto, a proporção áurea, o pentágono, a estrela de cinco pontas, os ladrilhos de Penrose, essas coisas geralmente aparecem juntas. Os ladrilhos de Penrose podem até ter simetria rotacional quíntupla, mas sem um período de translação.

Simetria, mas sem repetição Esta pode ser uma das características mais bonitas do ladrilho Penrose. Geralmente associamos facilmente simetria e repetição, mas o ladrilho Penrose nos diz: essas duas coisas são completamente diferentes. Um padrão pode ser muito simétrico e nunca se repetir periodicamente, o que é um mundo geométrico muito contra-intuitivo.

Imagine que você está em um mundo infinito de Penrose, caminhando para frente e caminhando para frente. Você continuará vendonovos padrões. Você pode encontrar uma estrela de cinco pontas, continuar andando, outra estrela de cinco pontas, e caminhar novamente, e ver uma estrutura semelhante. Mas você nunca encontrará:"Ok, começando daqui, o padrão atrás é exatamente o mesmo de antes. ”Como não existe um ciclo fixo, o mundoé infinito, ordenado, mas nunca se repete mecanicamente.

Regras locais, criando estruturas infinitas.

Na verdade, existe mais de uma versão. Se você pesquisar online sobre a pavimentação de Penrose, poderá encontrar a combinação de losangos finos e grossos — outra forma clássica conhecida como P3 — enquanto as peças do tipo 'pipa' e 'dardo' (*kite and dart*) pertencem à categoria P2. Há também a forma anterior, P1. Estritamente falando, portanto, a pavimentação de Penrose não é um padrão único e fixo, mas uma família de pavimentações aperiódicas que seguem regras específicas.

Surge uma questão intrigante: como apenas dois tipos de peças podem cobrir um plano infinito? Podemos naturalmente nos perguntar: 'Se o padrão não se repete, como podemos ter certeza de que não restarão lacunas?' É precisamente aí que reside a genialidade da pavimentação de Penrose. As regras de encaixe fazem mais do que simplesmente ditar onde uma peça não pode ser colocada; à medida que a pavimentação avança, elas restringem progressivamente as escolhas futuras. Colocar uma peça impõe restrições à área ao redor; a peça seguinte fica, então, restrita, assim como a que vem depois dela. Em última análise, toda a estrutura infinita é organizada por um conjunto de regras locais.

Este é, talvez, o aspecto mais instigante da pavimentação de Penrose. Basta observar como as peças vizinhas imediatas se conectam; não há necessidade de um enorme 'mapa mestre' ditando a aparência de todo o universo. Ao simplesmente seguir regras locais, o efeito cumulativo delas dá origem a um todo infinitamente grande, aperiódico e altamente ordenado. Isso guarda semelhança com os fractais: um todo complexo pode surgir de regras locais simples.

No entanto, a pavimentação de Penrose não é um fractal; não é o mesmo tipo de objeto matemático que o conjunto de Mandelbrot ou o floco de neve de Koch.

O floco de neve de Koch acumula detalhes por meio de recursão contínua; sua essência é a recursão, abordando a questão: 'No que se transforma uma forma simples quando passa por uma recursão infinita?'

Em contrapartida, a pavimentação de Penrose organiza um plano infinito com base em regras de pavimentação; sua essência reside na pavimentação aperiódica combinada com regras de encaixe. Assim, ela se assemelha mais à pergunta: 'Pode um conjunto finito de formas constituir um mundo infinito que nunca se repete?'

Como isso difere dos mosaicos comuns?

Os mosaicos comuns geralmente se baseiam na repetição. Por exemplo: ◇◇◇◇ ◇◇◇◇ ◇◇◇◇. Você identifica uma unidade pequena — ◇ — e simplesmente a copia repetidamente.

A pavimentação de Penrose é exatamente o oposto; não é possível encontrar uma unidade pequena e finita que possa ser simplesmente copiada → deslocada → copiada → deslocada para cobrir todo o plano. Assim, ela se assemelha a um padrão decorativo, mas não apresenta as unidades de repetição simples encontradas em designs decorativos comuns.

Ainda mais surpreendente: ela levou físicos a repensar a natureza dos cristais

A pavimentação de Penrose é mais do que apenas um belo jogo matemático.

Em 1984, o físico israelense Dan Shechtman descobriu materiais com estrutura de quasicristal — uma descoberta que lhe rendeu o Prêmio Nobel de Química de 2011. Esses materiais possuem uma estrutura ordenada, mas não apresentam a periodicidade padrão encontrada em cristais convencionais. A pavimentação quase periódica de Penrose tornou-se, mais tarde, um modelo matemático fundamental para a compreensão dessas estruturas.

Portanto, um problema que parecia ser apenas um padrão decorativo matemático revelou ter uma conexão com o mundo físico real.

Um mundo que nunca se repete

Ao observar a pavimentação de Penrose, vemos que ela consiste em apenas duas formas básicas de peças, regidas por regras simples. No entanto, à medida que pavimentamos infinitamente, o padrão não se estabiliza em uma sequência simples do tipo ABABABAB..., nem se torna um único motivo pequeno copiado incessantemente. Em vez disso, ele mantém uma ordem constante sem nunca realmente se repetir — e é precisamente isso que torna a pavimentação de Penrose tão fascinante.

Você mesmo pode procurar por 'repetição' — aproximando ou afastando a imagem e mudando o ângulo de visão — enquanto se pergunta: 'Já vi esta parte antes?' Você pode encontrar seções semelhantes ou até mesmo padrões finitos idênticos, mas nunca encontrará uma unidade periódica que possa ser transladada infinitamente, pois é um mundo que nunca se repete.

Talvez isso ocorra porque ela possui duas qualidades aparentemente contraditórias: ordem e liberdade. Não é aleatória — cada peça segue uma regra —, mas também não é mecanicamente repetitiva, carecendo de qualquer ciclo simples. Ela segue um padrão sem se repetir; exibe simetria sem periodicidade de translação; e, com apenas dois tipos de peças, cria um mundo de complexidade infinita.

Começando com duas peças

Tudo começa com apenas duas formas geométricas simples: a peça em formato de 'pipa' (*kite*) e a peça em formato de 'dardo' (*dart*). Aplicamos então regras específicas de encaixe a elas. A partir daí — primeira peça, segunda peça, terceira peça... — o padrão cresce, expandindo-se cada vez mais. Por fim, essas duas peças podem cobrir todo um plano infinito.

No entanto, se você tentar encontrar um ciclo fixo de repetição, nunca conseguirá. Isso acontece porque esse mundo foi projetado desde o início para avançar para sempre, sem nunca se repetir. Esta é a pavimentação de Penrose.

Continue explorando o mundo da geometria

A pavimentação de Penrose representa um universo matemático verdadeiramente único.

Se você aprecia a experiência de ver regras simples dando origem a estruturas complexas, talvez queira explorar também o floco de neve de Koch — observando como uma aresta simples se transforma, por meio de recursão, em um floco de neve matemático de complexidade infinita. Ou a curva C de Lévy, na qual uma linha reta se dobra repetidamente usando um gerador simples para criar uma estrutura fractal complexa. Ou a curva do dragão, vendo como uma linha se dobra continuamente para formar um padrão fractal intrincado. E, finalmente, a rede de Apolônio (ou *Apollonian gasket*), onde os espaços entre círculos dão origem a círculos cada vez menores.

Embora explorem conceitos diferentes, todos transmitem a mesma mensagem: A ordem matemática não implica necessariamente repetição; às vezes, os mundos mais fascinantes são aqueles que seguem regras consistentes, mas nunca se repetem exatamente.

Você também pode conferir mais formas matemáticas fascinantes ou ler mais sobre a pavimentação de Penrose na Wikipédia.