ペンローズ・タイル張りを探索する

ペンローズ・タイル張り：2種類のタイルで、決して繰り返しのない世界を敷き詰める

正方形のタイルをたくさん渡されたら、次のように並べるのは簡単でしょう：

□□□□□□ □□□□□□ □□□□□□ □□□□□□

□□□□□□ □□□□□□ □□□□□□ □□□□□□

□□□□□□ □□□□□□ □□□□□□ □□□□□□

□□□□□□ □□□□□□ □□□□□□ □□□□□□

左右上下へと広げていくと、どれだけ大きく敷き詰めても、あることに気づくはずです。それは、パターンが絶えず繰り返されているということです。

そこで疑問が湧きます。ごく少数の形のタイルを使って平面全体を敷き詰めつつ、パターンが二度と繰り返されないようにすることは可能でしょうか？答えは「イエス」。しかも、必要なのはたった2種類のタイルだけなのです。

これこそが、有名なペンローズ・タイル張りです。

「タイル張り（テセレーション）」とは？

あまり難しく考える必要はありません。「タイル張り」とは、実はとても単純なことです。ある形を使って、隙間なく、かつ重なり合うことなく平面全体を埋め尽くすことなのです。

例えば正方形なら、簡単にそれが可能です。同じ形を繰り返すことで、無限に敷き詰めていくことができます。このようなパターンは周期的タイル張りと呼ばれ、小さなパターンをコピーして平行移動させるだけで、全体のパターンを作り出すことができます。

20世紀の60年代から70年代にかけて、数学者たちは非常に興味深い問題に取り組み始めました。それは、「限られた種類のタイルを使って、パターンが周期的に繰り返されることなく、平面全体を埋め尽くすことができるか？」という問題です。

初期の解決策では、非常に多くの種類のタイルが必要とされていました。その後、1970年代にイギリスの数学者兼物理学者であるロジャー・ペンローズが、非常に美しい解決策を提示しました。その中でも最も有名なものは、わずか2種類のタイルしか必要としません。これこそが、後に有名になったペンローズ・タイル張りです。

奇妙な二つのレンガ

まずは最も典型的なもの、すなわち「凧（たこ）形」のタイルと「ダーツ形」のタイルを見てみましょう。これらはどちらも四角形ですが、その形状は異なります。

凧（たこ）形のタイルは凸四角形であり、その4つの内角はそれぞれ72°、72°、72°、144°で、見た目は凧のようです。

一方、ダーツ（矢）の形をしたタイルはさらに独特で、凹四角形をしています。その4つの内角はそれぞれ36°、72°、36°、216°であり、216°の角があることで、内側へと明らかに窪んだ鋭角が形成されます。

しかし、単にこれら2種類のタイルがあるだけでは不十分です。ここがペンローズ・タイリングの最も重要な点です。「カイト（凧）」型と「ダート（ダーツの矢）」型のタイルをただ適当に組み合わせるだけでは、実は周期的なパターンができてしまうからです。つまり、真に驚くべきなのは「2種類の形状」そのものではなく、それらが特定の接合ルールに従わなければならないという点なのです。これをマッチング・ルールと呼びます。

「マッチング・ルール」とはどのようなものでしょうか。各タイルの縁に小さな矢印や色の印が付いていて、隣り合うタイルは決められた通りに接続しなければならない、と想像してみてください。接続の仕方が間違っていれば、その2枚のタイルをそのように配置することはできません。一見すると些細な制約に思えるかもしれませんが、実はこの制約こそが、パターンが周期的に繰り返されるのを防いでいるのです。

したがって厳密に言えば、凧形（カイト）と矢形（ダート）という二種類の一般的な四角形そのものでも、周期的な敷き詰め（タイリング）を行うことは可能です。しかし、これらをペンローズ非周期タイリングたらしめているのは、その形状と「マッチング・ルール（接合規則）」の組み合わせなのです。こうしたマッチング・ルールを、例えば凸凹（突起と溝）のような形でタイルの縁に直接組み込むこともできます。そうすれば、タイルは規定された通りの方法で接続するよう「強制」されることになります。

さあ、敷き詰めてみましょう

さあ、敷き詰めてみましょう。まず「凧（たこ）形」のタイルを置き、次に「ダーツ形」のタイルを置き、また凧形を置き、ダーツ形を置き……と続けていきます。

すると、とても美しい模様が浮かび上がってくることに気づくでしょう。ある時は五芒星のように、ある時は太陽のように、ある時は花のように、またある時は古代文明の装飾模様のようにも見えます。しかも、その模様にははっきりとした規則性があるように感じられます。

しかし、実際には同じ模様が繰り返されることはありません。これこそが、ペンローズ・タイリングの最も不思議な点なのです。

「この部分の模様、前にも見たことがあるような……」と思うかもしれません。確かに、似たような構造や星、花、あるいは部分的な模様を目にすることはあるでしょう。しかし、単純にコピーしたり平行移動させたりして平面全体を埋め尽くせるような、決まった「小さな模様の単位」を見つけることは決してできません。つまり、秩序はあるけれど、周期性はないのです。

繰り返しのように見えて、実際には繰り返されていない。これこそがペンローズ・タイリングの最も面白いところです。普通のタイルの場合、「規則性→繰り返し→繰り返し→繰り返し」となりますが、ペンローズ・タイリングでは「規則性→変化→変化→変化」となります。とはいえ、ランダム（無秩序）なわけではありません。それどころか、タイルの配置は厳密なルールによって制限されています。その結果、秩序はあるけれど繰り返さない世界が生まれるのです。

それはランダムな模様ではありません。

初めてペンローズ・タイリングを目にした人は、『単に2種類のタイルをランダムに組み合わせているだけではないか』と思うかもしれません。

しかし、全く違います。もし本当にランダムに並べたとしたら、すぐに隙間や重なりが生じ、マッチング・ルールに違反し、全体的な構造が崩れてしまうでしょう。

ペンローズ・タイリングは、厳格な規則に支配されています。適当に並べることはできず、各ステップにおいて多くの制約があります。それにもかかわらず、最終的に単純な周期性を持つパターンにはなりません。

ペンローズ・タイリングはランダムなものではなく、そこには極めて奥深い幾何学的構造が存在します。その中で特に重要な数値が 黄金比、すなわち φ ≈ 1.618 です。ペンローズ・タイリングにおける多くの幾何学的関係は、この黄金比と関わりがあります。例えば、『カイト（凧）』型と『ダート（ダーツの矢）』型のタイルの構成において、辺の長さの間に黄金比の関係が見られます。つまり、パターンは決して繰り返されることはありませんが、無秩序なわけでもないのです。その背後には、極めて厳密な数学的比率が存在しているのです。

ペンローズ・タイリングをよく観察すると、五芒星（ごぼうせい）の形が頻繁に見られます。これは、その幾何学的構造が五角形や5回回転対称性と密接に関わっているためです。そして五角形は、黄金比とも非常に深い関係にあります。そのため、黄金比、五角形、五芒星、ペンローズ・タイリングといった要素は、しばしば組み合わさって現れるのです。ペンローズ・タイリングは5回回転対称性を持ち得る一方で、平行移動による周期性（繰り返し）は持っていません。

対称性はあるが、繰り返しはない――これこそ、ペンローズ・タイリングの最も美しい特徴の一つと言えるでしょう。私たちは往々にして『対称性』と『繰り返し』を結びつけて考えがちですが、ペンローズ・タイリングは、それらが全く別物であることを教えてくれます。高度な対称性を持ちながら、決して周期的に繰り返されることのないパターン。それは、直感に反するような、驚くべき幾何学の世界なのです。

あなたが無限のペンローズの世界に立って、前に歩いて、前に歩いていると想像してください。 あなたは新しいパターンを見続けます。五芒星に遭遇し、歩き続け、別の五芒星に遭遇し、再び歩くと、同様の構造が見えるかもしれません。しかし、 あなたは決して見つけることはできません。「オーケー、ここから始めると、背後のパターンは以前とまったく同じです。」 「固定されたサイクルがないため、 世界は無限であり、秩序がありますが、 機械的に繰り返すことはありません。

ローカルルールが無限の構造を生み出す

実は、これには複数のバージョンが存在します。ネットで『ペンローズ・タイル』を検索すると、『薄い菱形』と『厚い菱形』の組み合わせを目にすることがあるかもしれません。これは『P3』​​と呼ばれる、もう一つの典型的なペンローズ・タイルの形式です。一方、『カイト（凧）型』と『ダート（ダーツの矢）型』のタイルを組み合わせたものは『P2』に分類されます。さらに、それ以前の『P1』という形式も存在します。つまり厳密に言えば、ペンローズ・タイルとは特定の固定された図形のことではなく、ある特定の規則を満たす非周期的なタイリング（敷き詰め）の総称なのです。

ここで興味深い疑問が浮かびます。たった2種類のタイルで、なぜ無限に広がる平面を隙間なく埋め尽くすことができるのでしょうか？普通なら、『パターンが繰り返されないのなら、最後に隙間が残ってしまうのではないか？』と考えてしまいますよね。しかし、そこにこそペンローズ・タイルの妙味があります。タイルの配置規則は、単に『このタイルをそこに置いてはいけない』と指示するだけのものではありません。実際には、タイルを並べていく過程で、後続のタイルの選択肢が徐々に制限されていくのです。あるタイルを置くと、その周辺の配置が制約を受けます。すると、次のタイルも制約を受け、その次のタイルもまた制約を受けることになります。こうして最終的には、局所的な規則の連鎖によって、無限に広がる構造全体が秩序立てられていくのです。

これこそが、ペンローズ・タイリングの最も興味深い点です。私たちは、近隣のタイル同士をどうつなぐべきかを確認するだけでよく、「宇宙全体がどのような姿をしているか」を示す巨大な地図を必要とはしません。局所的なルールに従うだけで、それらが積み重なり、結果として無限に広がり、非周期的でありながら高度な秩序を持つ全体像が形成されるのです。これはフラクタルと少し似ています。つまり、単純な局所的ルールから、複雑な全体像が生まれるということです。

しかし、ペンローズ・タイリングはフラクタルではありません。マンデルブロ集合やコッホ曲線（コッホ雪片）とは異なる数学的対象なのです。

コッホ雪片は、再帰によって絶えず細部を付け加えていくものです。その核心にあるのは再帰であり、「単純な図形を繰り返し再帰させると、どのような形になるのか？」という問いを表現しています。

一方、ペンローズ・タイル張りは、タイルの配置ルールを用いて無限の平面を構成するものです。その核心は非周期的タイル張り＋マッチング・ルールにあり、「限られた種類の形状で、決して繰り返しのない無限の世界を構成できるか？」という問いを投げかけていると言えます。

普通のモザイクと何が違うのでしょうか？

通常のモザイクは、一般的に繰り返しを追求します。例えば「◇◇◇◇ ◇◇◇◇ ◇◇◇◇」のように、小さな単位である「◇」を見つけ出し、それを複製し続けるというものです。

一方、ペンローズ・タイル張りは全くの逆です。単純に複製→平行移動→複製→平行移動を繰り返すだけで平面全体を埋め尽くせるような、有限の小さな単位を見つけることはできません。つまり、装飾模様のように見えながら、一般的な装飾模様にあるような単純な繰り返しの単位が存在しないのです。

さらに驚くべきことに、かつて物理学者に結晶のあり方を再考させるきっかけとなりました

ペンローズ・タイル張りは、単なる美しい数学的パズルではありません。

1984年、イスラエルの物理学者ダン・シェヒトマンが準結晶構造を持つ物質を発見し、その功績により2011年のノーベル化学賞を受賞しました。これらの物質は秩序ある構造を持ちながら、従来の結晶のような一般的な周期性を示しません。ペンローズによる準周期的なタイル張りは、後にこうした構造を理解するための重要な数学的モデルの一つとなりました。

つまり、数学的な装飾模様のように見えた問題が、やがて現実の物質世界と結びつくことになったのです。

決して繰り返されることのない世界

改めてペンローズ・タイルに目を向けてみましょう。基本となるタイルはわずか2種類で、その配置ルールも複雑ではありません。しかし、それらを無限に敷き詰めていくと、ABABABAB……といった単純なパターンや、小さな図形の単なる繰り返しにはなりません。常に秩序がありながら、決して完全には繰り返されない――これこそが、ペンローズ・タイルの最も魅力的な点なのです。

実際に「繰り返し」を探してみることもできます。拡大・縮小したり、視点を移動させたりして、「ここはさっき見た場所だろうか？」と探してみてください。似たような部分や、完全に同じ小さな図形が見つかることはあるかもしれません。しかし、無限に平行移動させて複製できるような周期的な単位は見つからないはずです。なぜなら、それは決して繰り返されることのない世界だからです。

おそらくそれは、秩序と自由という、一見矛盾する二つの特性を併せ持っているからでしょう。ランダムなわけではなく、すべてのタイルにはルールがあります。しかし、機械的な繰り返しでもなく、単純な周期性もありません。規則性はあるが繰り返しはない。対称性はあるが平行移動の周期性はない。たった2種類のタイルで、無限に複雑な世界を創り出せるのです。

2つのタイルから始まる

最初は、「凧（たこ）形」と「ダーツ形」という、一見何の変哲もない2種類の幾何学的なタイルしかありませんでした。そこにいくつかの組み合わせのルールを適用します。すると、1枚、2枚、3枚……とタイルは増え続け、どこまでも広がっていきます。やがて、この2種類のタイルだけで、無限に広がる平面を隙間なく埋め尽くすことができるのです。

しかし、そこに決まった周期性を見つけようとしても、決して見つけることはできません。なぜなら、この世界は最初から、絶えず前進し続けながらも、決して同じパターンを繰り返さないように設計されているからです。これこそが、ペンローズ・タイルなのです。

幾何学の世界をさらに探求する

ペンローズ・タイル張りは、非常にユニークな数学の世界です。

「単純なルールから複雑な構造が生まれる」という体験がお好きなら、他にもいろいろな図形を探求してみましょう。例えば、単純な辺が再帰的に変化して無限に複雑な雪の結晶のような形になるコッホ曲線（コッホ雪片）。あるいは、直線が単純な生成規則によって折り畳まれ、複雑なフラクタル構造を形成していくレヴィC曲線。あるいは、線が折り畳まれ続けて複雑なフラクタル模様を描き出すドラゴン曲線。そして、円と円の隙間に次々と小さな円が生まれていくアポロニウスのギャスケット（円充填）などがあります。

それぞれ探求するテーマは異なりますが、これらは私たちにこう教えてくれます。数学的な秩序とは、必ずしも単なる「繰り返し」を意味するわけではありません。時に、最も驚くべき世界とは、常に規則性を持ちながらも、決して完全に同じ形が繰り返されることのない世界なのです。

他にも素晴らしい数学的図形を眺めたり、Wikipediaでペンローズ・タイル張りについての詳細を調べたりすることもできます。