Изучение мозаики Пенроуза

Penrose Paving Bricks: два типа кирпичей, прокладывающие мир, который никогда не повторится

Если вам дана связка квадратов, вы легко сможете их разложить вот так:

□□□□□□ □□□□□□ □□□□□□ □□□□□□

□□□□□□ □□□□□□ □□□□□□ □□□□□□

□□□□□□ □□□□□□ □□□□□□ □□□□□□

□□□□□□ □□□□□□ □□□□□□ □□□□□□

Продлите влево, выдвиньте вправо, выдвиньте вверх, выдвиньте вниз. Независимо от того, насколько велик павильон, вы обнаружите, что этот образец будет повторяться

Тогда возникает вопрос: можно ли покрыть всю поверхность всего несколькими фигурами, но никогда по-настоящему не повторить рисунок? Ответ: да, и нужны только два типа кирпичей.

Это известно как Брусчатка Пенроуза

Что такое «мозаичное покрытие» (тайлинг)?

Не будем усложнять: понятие «мозаичного покрытия» (или тайлинга) на самом деле очень простое. Это процесс заполнения плоской поверхности фигурами определенной формы так, чтобы не оставалось пустот и фигуры не перекрывали друг друга.

С квадратами, например, всё очень просто: повторяя их, можно создавать бесконечное мозаичное покрытие. Такой узор называют периодическим мозаичным покрытием, поскольку весь рисунок можно получить, просто копируя и сдвигая один небольшой фрагмент.

В 1960-х и 1970-х годах математики занялись изучением интереснейшего вопроса: можно ли покрыть всю плоскость, используя лишь конечное число форм плиток, но так, чтобы узор никогда не повторялся периодически?

Первые найденные решения требовали огромного количества разнообразных форм плиток. Позднее, в 1970-х годах, британский математик и физик Роджер Пенроуз предложил элегантное решение. Одно из самых известных таких решений требует использования всего двух типов плиток — этот вариант получил название мозаика Пенроуза.

Два странных кирпича

Начнем с самых классических типов: плиток «воздушный змей» и «дротик». Обе они представляют собой четырехугольники, но различаются по форме.

Плитка «воздушный змей» — это выпуклый четырехугольник с внутренними углами 72°, 72°, 72° и 144°; она действительно напоминает воздушного змея.

Плитка «дротик» более необычна: это вогнутый четырехугольник с внутренними углами 36°, 72°, 36° и 216°. Угол в 216° образует острый выступ, направленный внутрь фигуры.

Однако наличия лишь этих двух типов плиток недостаточно; в этом заключается ключевой аспект мозаики Пенроуза. Если бы вы просто соединяли плитки форм "воздушный змей" и "дротик" как попало, то вполне могли бы получить периодический узор. Таким образом, подлинная магия кроется не столько в самих двух формах, сколько в том, что они должны соединяться по определенным правилам. Эти правила называют правилами сопряжения (или правилами стыковки).

Что же это за правила? Представьте, что на краях каждой плитки нанесены небольшие стрелки или цветные метки, указывающие, как именно должны стыковаться соседние элементы. Если способ соединения не соответствует этим правилам, то так укладывать плитки нельзя. Хотя это ограничение может показаться незначительным, именно оно не позволяет узору повторяться периодически.

Строго говоря, плитки "воздушный змей" и "дротик" — будучи обычными четырехугольниками — сами по себе могли бы образовать периодическую мозаику. В апериодическую мозаику Пенроуза их превращает именно сочетание формы и правил сопряжения. Эти правила можно даже физически воплотить в форме краев плиток — например, сделав на них выступы и выемки, — тем самым "принуждая" плитки соединяться только предписанным образом.

А теперь начнем выкладывать плитку

А теперь начнем выкладывать плитку. Положите плитку в форме «воздушного змея», затем плитку в форме «дротика», снова «воздушного змея», затем «дротик»...

Вы заметите, что они начинают образовывать красивые узоры — иногда напоминающие пятиконечные звезды, иногда солнца или цветы, а порой — декоративные мотивы древних цивилизаций. При этом узоры выглядят весьма упорядоченными.

Но они никогда не повторяются в точности; в этом и заключается главная магия мозаики Пенроуза.

Взглянув на нее, можно подумать: «Разве я не видел этот узор раньше?» И действительно, вы увидите похожие структуры — схожие звезды, цветы и отдельные элементы. Однако вы никогда не найдете небольшого фиксированного фрагмента, который можно было бы просто копировать и сдвигать, чтобы заполнить всю плоскость. Иными словами: здесь есть порядок, но нет периодичности.

Это выглядит как повторение, но на самом деле повторения нет; именно это делает мозаику Пенроуза столь удивительной. В случае с обычной плиткой последовательность такова: узор → повторение → повторение → повторение. В мозаике Пенроуза иначе: узор → вариация → вариация → вариация. И все же это не хаос — совсем наоборот: расположение каждой отдельной плитки подчиняется строгим правилам. В результате возникает мир, который упорядочен, но не повторяется.

Это не случайный узор.

Впервые увидев мозаику Пенроуза, можно подумать: "Разве это не просто случайное сочетание двух видов плиток?"

Отнюдь. Если бы плитки располагались хаотично, неизбежно возникли бы зазоры и наложения, нарушились бы правила стыковки и разрушилась бы общая структура.

Мозаика Пенроуза подчиняется строгим правилам. Нельзя просто укладывать плитки как вздумается — на каждом этапе действуют многочисленные ограничения. И всё же результат — это не просто повторяющийся узор.

Мозаика Пенроуза не случайна; она обладает глубокой геометрической структурой. Ключевую роль здесь играет золотое сечение — или φ ≈ 1,618, — поскольку с ним связаны многие геометрические соотношения внутри мозаики. Например, золотое сечение определяет соотношение длин сторон плиток типа «воздушный змей» и «дротик». Таким образом, оказывается, что, хотя узор никогда не повторяется, он вовсе не хаотичен; в его основе лежат строгие математические пропорции.

Если внимательно присмотреться к мозаикам Пенроуза, то часто можно заметить пятиконечные звезды. Это объясняется тем, что их геометрическая структура тесно связана с пятиугольниками и поворотной симметрией пятого порядка, а пятиугольники, в свою очередь, имеют глубокую связь с золотым сечением. Как следствие, золотое сечение, пятиугольники, пятиконечные звезды и мозаики Пенроуза часто встречаются вместе. Мозаики Пенроуза могут даже обладать поворотной симметрией пятого порядка, не имея при этом трансляционной периодичности»

Симметрия без повторения — пожалуй, одна из самых красивых особенностей мозаик Пенроуза. Мы часто склонны связывать симметрию с повторением, но мозаики Пенроуза показывают нам, что это вовсе не одно и то же. Узор может быть высокосимметричным и при этом никогда не повторяться периодически; это геометрический мир, который бросает вызов интуиции»

Представьте, что вы стоите в бесконечном мире Пенроуза и идете вперед, все дальше и дальше. Вы будете постоянно встречать новые узоры. Вам может попасться пятиконечная звезда; пройдя еще немного, вы найдете другую; пройдя еще дальше — увидите похожие структуры. И все же вы никогда не дойдете до точки, где можно было бы сказать: "Вот с этого места узор становится точно таким же, как был раньше". Поскольку здесь нет фиксированного периода, этот мир бесконечен и упорядочен, но при этом никогда не повторяется механически»

Локальные правила, создающие бесконечные структуры.

На самом деле существует не одна версия. Если поискать в интернете информацию о мозаике Пенроуза, можно встретить сочетание узкого и широкого ромбов — это классический вариант, известный как P3, — тогда как плитки в форме «воздушного змея» и «дротика» относятся к категории P2. Существует также более ранний вариант — P1. Таким образом, строго говоря, мозаика Пенроуза — это не какой-то один фиксированный узор, а семейство апериодических мозаик, подчиняющихся определенным правилам.

Возникает любопытный вопрос: как всего два типа плиток могут покрыть бесконечную плоскость? Вполне естественно задаться вопросом: «Если узор не повторяется, как можно быть уверенным, что не останется пустот?» Именно в этом и заключается гениальность мозаики Пенроуза. Правила стыковки не просто определяют, где плитку размещать нельзя; по мере выкладывания мозаики они всё больше ограничивают возможности для дальнейших действий. Размещение одной плитки накладывает ограничения на окружающее пространство; затем ограничения распространяются на следующую плитку, и так далее. В конечном счете, вся бесконечная структура формируется на основе набора локальных правил.

Пожалуй, это самый интересный аспект мозаики Пенроуза. Достаточно лишь проследить, как соединяются соседние плитки; не требуется никакой глобальной «генеральной схемы», определяющей вид всей структуры. Простое следование локальным правилам приводит к тому, что их совокупный эффект порождает бесконечно большую, апериодическую и высокоупорядоченную целостную систему. Это напоминает фракталы: сложное целое может возникать из простых локальных правил.

Однако мозаика Пенроуза не является фракталом; это математический объект иного типа, нежели множество Мандельброта или снежинка Коха

Детализация снежинки Коха нарастает благодаря непрерывной рекурсии; её суть — именно рекурсия, отвечающая на вопрос: «Во что превращается простая фигура, если подвергнуть её бесконечной рекурсии?»

В отличие от неё, мозаика Пенроуза упорядочивает бесконечную плоскость на основе правил замощения; её суть заключается в апериодическом замощении в сочетании с правилами стыковки. Таким образом, она скорее ставит вопрос: «Может ли конечный набор фигур сформировать бесконечный мир, который никогда не повторяется?»

Чем она отличается от обычной мозаики?

Обычная мозаика обычно строится на повторении. Например: ◇◇◇◇ ◇◇◇◇ ◇◇◇◇. Вы выделяете небольшой элемент — ◇ — и просто копируете его снова и снова.

Мозаика Пенроуза — полная противоположность: в ней невозможно найти такой небольшой элемент, который можно было бы просто копировать → сдвигать → копировать → сдвигать для заполнения всей плоскости. Таким образом, она выглядит как декоративный узор, но в ней отсутствуют простые повторяющиеся элементы, характерные для обычных орнаментов.

Еще удивительнее: она заставила физиков переосмыслить природу кристаллов

Мозаика Пенроуза — это не просто красивая математическая игра.

В 1984 году израильский физик Дан Шехтман открыл материалы со структурой квазикристалла — открытие, за которое он получил Нобелевскую премию по химии 2011 года. Эти материалы обладают упорядоченной структурой, но лишены стандартной периодичности, свойственной обычным кристаллам. Квазипериодическая мозаика Пенроуза впоследствии стала ключевой математической моделью для понимания таких структур.

Получается, что задача, казавшаяся лишь вопросом создания математического декоративного узора, оказалась связанной с реальным физическим миром.

Мир, который никогда не повторяется

Если взглянуть на мозаику Пенроуза, то она состоит всего из двух базовых форм плиток, подчиняющихся простым правилам. И все же, при бесконечном заполнении плоскости узор не сводится к простой последовательности типа ABABABAB... и не превращается в один маленький мотив, копируемый до бесконечности. Напротив, он сохраняет постоянный порядок, ни разу не повторяясь в точности, — и именно это делает мозаику Пенроуза столь удивительной.

Вы можете сами попытаться найти «повторение» — приближая и удаляя изображение или смещая взгляд — и задаваясь вопросом: «Видел ли я уже этот фрагмент?» Можно обнаружить похожие участки или даже идентичные конечные узоры, но вы никогда не найдете периодического элемента, который можно было бы бесконечно тиражировать (сдвигать), потому что это мир, который никогда не повторяется.

Возможно, причина кроется в том, что этот мир обладает двумя, казалось бы, противоречивыми качествами: порядком и свободой. Он не хаотичен — каждая плитка подчиняется правилу, — но и не является механически повторяющимся, лишенным простых циклов. Он следует узору, не повторяясь; демонстрирует симметрию без трансляционной периодичности; и, используя всего два типа плиток, создает мир бесконечной сложности.

Начиная с двух плиток

Все начинается всего с двух неприметных геометрических фигур: плитки в форме «воздушного змея» и плитки в форме «дротика». Затем мы применяем к ним определенные правила стыковки. И дальше — первая плитка, вторая, третья... — узор разрастается, распространяясь все шире. В конечном счете, эти две плитки способны покрыть всю бесконечную плоскость.

И все же, если вы попытаетесь найти фиксированный повторяющийся цикл, вам это не удастся. Ведь этот мир с самого начала был задуман так, чтобы вечно двигаться вперед, ни разу не повторяясь. Это и есть мозаика Пенроуза.

Продолжайте исследовать мир геометрии

Мозаика Пенроуза представляет собой поистине уникальную область математики.

Если вам нравится наблюдать, как простые правила порождают сложные структуры, возможно, вас также заинтересуют: снежинка Коха — пример того, как простой отрезок благодаря рекурсии превращается в бесконечно сложную математическую снежинку; C-кривая Леви, где прямая линия многократно изгибается по простому правилу, образуя сложную фрактальную структуру; кривая дракона, демонстрирующая, как непрерывное складывание линии создает причудливый фрактальный узор; и, наконец, сеть Аполлония, в которой в промежутках между окружностями возникают всё новые, более мелкие окружности.

Несмотря на то, что все эти объекты иллюстрируют разные концепции, их объединяет одна мысль: математический порядок не обязательно означает повторение; порой самые удивительные миры возникают на основе строгих правил, но при этом никогда не повторяются в точности.

Вы также можете посмотреть другие интересные математические фигуры или прочитать подробнее о мозаике Пенроуза в Википедии.