펜로즈 타일링 탐구

펜로즈 타일링: 결코 반복되지 않는 세상을 만드는 두 가지 유형의 타일

정사각형 타일들을 잔뜩 받았다면, 다음과 같이 쉽게 배열할 수 있을 것입니다:

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상하좌우로 확장해 나가며 타일링을 아무리 크게 늘려도, 그 패턴이 끊임없이 반복된다는 것을 알 수 있습니다.

그렇다면 이런 의문이 생깁니다. 과연 패턴이 결코 반복되지 않으면서도 몇 가지 모양만으로 평면 전체를 채울 수 있을까요? 정답은 '그렇다'이며, 단 두 가지 유형의 타일만 있으면 가능합니다.

이것이 바로 유명한 펜로즈 타일링입니다.

'타일링(tiling)'이란 무엇인가요?

복잡하게 생각할 필요 없습니다. '타일링'은 사실 아주 간단한 개념입니다. 특정 모양의 타일로 평면 전체를 빈틈이나 겹침 없이 채우는 것을 말합니다.

예를 들어 정사각형을 사용하면 아주 쉽게 타일링을 할 수 있습니다. 정사각형을 계속 반복해서 배치하면 무한히 타일링을 이어갈 수 있기 때문입니다. 이러한 유형의 패턴을 주기적 타일링(periodic tiling)이라고 부르는데, 이는 작고 단순한 단위 패턴 하나를 복사하고 이동시키는 것만으로 전체 패턴을 만들어낼 수 있는 방식입니다.

1960년대와 1970년대에 수학자들은 흥미로운 질문을 탐구하기 시작했습니다. '유한한 개수의 타일 모양만 사용하여 평면 전체를 채우되, 패턴이 주기적으로 반복되지 않게 할 수 있을까?' 하는 것이었죠.

초기 해결책들은 매우 다양한 종류의 타일을 필요로 했습니다. 그러다 1970년대에 영국의 수학자이자 물리학자인 로저 펜로즈(Roger Penrose)가 아주 훌륭하고 간결한 해법을 제시했습니다. 그중 가장 유명한 방식은 단 두 가지 종류의 타일만 사용하는 것으로, 훗날 펜로즈 타일링(Penrose tiling)이라 불리게 되었습니다.

두 개의 이상한 벽돌

가장 전형적인 유형인 연(kite) 모양 타일과 다트(dart) 모양 타일부터 시작해 봅시다. 두 타일 모두 사각형이지만 모양은 서로 다릅니다.

'연(kite)' 모양 타일은 내각이 72°, 72°, 72°, 144°인 볼록 사각형으로, 그 이름처럼 연과 똑같이 생겼습니다.

'다트(dart)' 모양 타일은 훨씬 더 독특합니다. 이 타일은 내각이 36°, 72°, 36°, 216°인 오목 사각형인데, 특히 216°인 각은 안쪽을 향하는 뚜렷한 꼭짓점을 형성합니다.

하지만 단순히 이 두 가지 종류의 타일만 있다고 해서 끝나는 것은 아닙니다. 이것이 바로 펜로즈 타일링의 핵심적인 부분입니다. 만약 연 모양과 다트 모양 타일을 아무렇게나 무작위로 이어 붙인다면, 오히려 주기적인 패턴이 만들어질 수도 있습니다. 따라서 진정한 마법은 단순히 '두 가지 모양' 그 자체에 있는 것이 아니라, 이 타일들이 특정한 연결 규칙을 반드시 따라야 한다는 점에 있습니다. 이러한 규칙을 매칭 규칙(matching rules)이라고 합니다.

매칭 규칙(matching rules)이란 무엇일까요? 이는 각 타일의 가장자리에 표시된 작은 화살표나 색상 표시로 상상해 볼 수 있는데, 이들은 인접한 타일이 특정한 방식으로만 연결되어야 함을 지시합니다. 만약 연결이 이 규칙을 따르지 않는다면, 해당 타일들을 그런 식으로 함께 배치할 수 없습니다. 사소한 제약처럼 보일 수 있지만, 바로 이 규칙이야말로 패턴이 주기적으로 반복되는 것을 막아주는 핵심 요소입니다.

엄밀히 말해, 평범한 사각형인 '연(kite)' 모양 타일과 '다트(dart)' 모양 타일 자체만으로는 주기적인 타일링을 만들어낼 수도 있습니다. 하지만 이것이 펜로즈 비주기적 타일링(Penrose aperiodic tiling)이 되는 이유는 바로 타일의 모양과 매칭 규칙이 결합되었기 때문입니다. 이러한 매칭 규칙은 타일의 가장자리 자체에 직접 구현할 수도 있는데(예: 돌출부와 홈 형태), 이를 통해 타일이 정해진 방식대로만 연결되도록 '강제'할 수 있습니다.

자, 이제 타일 붙이기를 시작해 봅시다

자, 이제 타일 붙이기를 시작해 봅시다. 연 모양 타일을 놓고, 그 다음엔 다트 모양 타일, 다시 연 모양 타일, 그리고 다트 모양 타일 순서로 놓아보세요...

그러면 아름다운 무늬가 형성되는 것을 볼 수 있을 것입니다. 때로는 오각형 별이나 태양, 혹은 꽃처럼 보이기도 하고, 또 어떤 때는 고대 문명의 장식 문양처럼 보이기도 합니다. 이 무늬들은 매우 체계적인 구조를 띠고 있습니다.

하지만 결코 똑같이 반복되지는 않습니다. 이것이 바로 펜로즈 타일링이 가진 가장 마법 같은 특징입니다.

어느 부분을 보고 '이 무늬, 어디서 본 것 같은데?'라고 생각할 수도 있습니다. 실제로 별이나 꽃, 부분적인 문양 같은 비슷한 구조를 발견하게 될 테니까요. 하지만 평면 전체를 채우기 위해 단순히 복사해서 옮길 수 있는 고정된 하나의 무늬 단위는 결코 찾을 수 없습니다. 다시 말해, 질서는 있지만 주기성은 없는 것입니다.

반복되는 것처럼 보이지만 실제로는 반복이 일어나지 않는다는 점, 그것이 펜로즈 타일링을 그토록 매력적으로 만듭니다. 일반적인 타일의 경우 '무늬 → 반복 → 반복 → 반복'의 순서를 따르지만, 펜로즈 타일링은 '무늬 → 변형 → 변형 → 변형'의 과정을 거칩니다. 그렇다고 무작위적인 것은 아닙니다. 오히려 모든 타일의 배치는 엄격한 규칙에 따라 이루어집니다. 그 결과 질서 정연하면서도 반복되지 않는 세상이 탄생하는 것입니다.

그것은 무작위적인 패턴이 아닙니다.

펜로즈 타일링을 처음 접하면 누군가는 '이건 그저 두 종류의 타일을 무작위로 이어 붙인 것 아닌가?'라고 생각할 수도 있습니다.

전혀 그렇지 않습니다. 만약 무작위로 배치한다면 금세 빈틈이나 겹치는 부분이 생기고, 타일 간의 결합 규칙을 어기게 되며, 전체적인 구조가 무너지고 말 것입니다.

펜로즈 타일링은 엄격한 규칙에 따라 이루어집니다. 단순히 마음대로 타일을 놓을 수 있는 것이 아니며, 모든 단계마다 수많은 제약 조건이 따릅니다. 하지만 그럼에도 불구하고 그 결과물은 단순한 주기적 패턴이 아닙니다.

펜로즈 타일링은 무작위적인 것이 아니라 심오한 기하학적 구조를 지니고 있습니다. 여기서 핵심적인 요소는 황금비(기호 φ ≈ 1.618)로, 이는 타일링 내부의 여러 기하학적 관계를 뒷받침합니다. 예를 들어, '연(kite)' 모양 타일과 '다트(dart)' 모양 타일의 변 길이 사이의 관계에서 황금비가 나타납니다. 따라서 이 패턴은 결코 반복되지 않지만 결코 무질서하지도 않으며, 엄격한 수학적 비율에 의해 지배됩니다.

펜로즈 타일링을 자세히 살펴보면 종종 오각형 별 모양을 발견할 수 있습니다. 이는 타일링의 기하학적 구조가 오각형 및 5회 회전 대칭과 밀접하게 연관되어 있고, 오각형 또한 황금비와 깊은 관련이 있기 때문입니다. 결과적으로 황금비, 오각형, 오각형 별, 그리고 펜로즈 타일링은 자주 함께 등장합니다. 펜로즈 타일링은 평행 이동에 의한 주기성 없이도 5회 회전 대칭성을 나타낼 수 있습니다.

반복 없는 대칭성—이는 아마도 펜로즈 타일링이 가진 가장 아름다운 특징 중 하나일 것입니다. 우리는 흔히 대칭성과 반복을 동일시하는 경향이 있지만, 펜로즈 타일링은 이 둘이 서로 다른 개념임을 보여줍니다. 패턴은 고도로 대칭적이면서도 주기적으로 반복되지 않을 수 있으며, 이는 우리의 직관을 뛰어넘는 기하학적 세계를 보여줍니다.

펜로즈 타일링은 무작위적인 것이 아니라 심오한 기하학적 구조를 지니고 있습니다. 여기서 핵심적인 요소는 황금비(기호 φ ≈ 1.618)로, 이는 타일링 내부의 여러 기하학적 관계를 뒷받침합니다. 예를 들어, '연(kite)' 모양 타일과 '다트(dart)' 모양 타일의 변 길이 사이의 관계에서 황금비가 나타납니다. 따라서 이 패턴은 결코 반복되지 않지만 결코 무질서하지도 않으며, 엄격한 수학적 비율에 의해 지배됩니다.

펜로즈 타일링을 자세히 살펴보면 종종 오각형 별 모양을 발견할 수 있습니다. 이는 타일링의 기하학적 구조가 오각형 및 5회 회전 대칭과 밀접하게 연관되어 있고, 오각형 또한 황금비와 깊은 관련이 있기 때문입니다. 결과적으로 황금비, 오각형, 오각형 별, 그리고 펜로즈 타일링은 자주 함께 등장합니다. 펜로즈 타일링은 평행 이동에 의한 주기성 없이도 5회 회전 대칭성을 나타낼 수 있습니다.

반복 없는 대칭성—이는 아마도 펜로즈 타일링이 가진 가장 아름다운 특징 중 하나일 것입니다. 우리는 흔히 대칭성과 반복을 동일시하는 경향이 있지만, 펜로즈 타일링은 이 둘이 서로 다른 개념임을 보여줍니다. 패턴은 고도로 대칭적이면서도 주기적으로 반복되지 않을 수 있으며, 이는 우리의 직관을 뛰어넘는 기하학적 세계를 보여줍니다.

무한한 구조를 만들어내는 국소적 규칙들.

사실 펜로즈 타일링에는 한 가지 이상의 버전이 존재합니다. 온라인에서 펜로즈 타일링을 검색해 보면 '얇은 마름모와 두꺼운 마름모'의 조합(흔히 P3라고 불리는 또 다른 고전적 형태)을 접할 수 있는데, 반면 '연(kite)과 다트(dart)' 모양의 타일은 P2 유형에 속합니다. 그보다 앞서 등장한 P1 형태도 있습니다. 따라서 엄밀히 말해 펜로즈 타일링은 단 하나의 고정된 패턴이 아니라, 특정한 규칙을 따르는 비주기적 타일링의 한 유형(또는 집합)이라고 할 수 있습니다.

여기서 흥미로운 의문이 생깁니다. 과연 단 두 종류의 타일로 어떻게 무한한 평면을 빈틈없이 채울 수 있을까요? '패턴이 반복되지 않는다면, 빈틈이 생기지 않는다는 것을 어떻게 확신할 수 있을까?'라는 의문이 자연스럽게 들 수 있습니다. 바로 이 지점이 펜로즈 타일링의 탁월한 점입니다. 타일 배치 규칙은 단순히 '이 타일을 저곳에 놓을 수 없다'고 지시하는 데 그치지 않습니다. 대신 타일링이 진행됨에 따라, 그 규칙들은 이어지는 선택의 가능성을 점진적으로 제한합니다. 타일 하나를 놓으면 주변 영역에 제약이 생기고, 그에 따라 다음 타일의 배치도 제약을 받으며, 그다음 타일 또한 마찬가지로 영향을 받게 됩니다. 결국 무한히 확장되는 전체 구조가 일련의 국소적 규칙들에 의해 체계적으로 형성되는 것입니다.

바로 이 점이 펜로즈 타일링을 매우 흥미로운 주제로 만듭니다. 타일들이 국소적으로 어떻게 연결되는지만 살펴보면 됩니다. '전체 우주'가 어떤 모습이어야 하는지를 규정하는 거대한 지도는 필요하지 않습니다. 단지 국소적인 규칙을 따르는 것만으로도, 그 규칙들이 누적되어 무한히 크고 비주기적이며 고도로 질서 정연한 전체 구조가 탄생합니다. 이는 프랙탈과 어느 정도 유사한 점이 있습니다. 즉, 단순한 국소적 규칙으로부터 복잡한 전체 구조가 나타날 수 있다는 것입니다.

하지만 펜로즈 타일링은 프랙탈이 아닙니다. 이는 망델브로 집합이나 코흐 눈송이와 같은 유형의 수학적 대상이 아닙니다.

코흐 눈송이(Koch snowflake)는 재귀를 통해 끊임없이 세부적인 형태를 더해갑니다. 그 본질은 재귀에 있으며, 이는 '단순한 도형이 끝없이 반복되면 어떤 모습이 될까?'라는 질문을 다룹니다.

반면, 펜로즈 타일링(Penrose tiling)은 타일링 규칙에 따라 무한한 평면을 구성합니다. 그 본질은 비주기적 타일링과 매칭 규칙에 있으며, 이는 '유한한 종류의 도형으로 결코 반복되지 않는 무한한 세계를 만들 수 있을까?'라는 질문을 던집니다.

일반적인 모자이크와는 어떻게 다른가요?

일반적인 모자이크는 대개 반복에 의존합니다. 예를 들어 ◇◇◇◇ ◇◇◇◇ ◇◇◇◇와 같은 식이죠. 작은 단위(◇)를 파악한 뒤, 이를 단순히 계속해서 복사해 나가는 방식입니다.

반면 펜로즈 타일링은 정반대입니다. 평면 전체를 채우기 위해 단순히 복사 → 이동 → 복사 → 이동을 반복할 수 있는 유한하고 작은 단위는 존재하지 않습니다. 따라서 장식적인 무늬처럼 보이지만, 일반적인 장식 디자인에서 볼 수 있는 단순한 반복 단위는 찾아볼 수 없습니다.

더 놀라운 점: 물리학자들이 결정(crystal)의 본질을 다시 생각하게 만든 계기가 되었습니다

펜로즈 타일링은 단순한 아름다운 수학적 유희 그 이상입니다.

1984년, 이스라엘의 물리학자 단 셰흐트만(Dan Shechtman)은 준결정(quasicrystal) 구조를 가진 물질을 발견했고, 이 공로로 2011년 노벨 화학상을 수상했습니다. 이 물질들은 질서 있는 구조를 갖추고 있으면서도 일반적인 결정에서 나타나는 표준적인 주기성은 결여되어 있습니다. 펜로즈의 준주기적 타일링은 훗날 이러한 구조를 이해하는 데 핵심적인 수학적 모델이 되었습니다.

즉, 단순한 수학적 장식 무늬로만 보였던 문제가 실제 물리적 세계와 연관되어 있음이 밝혀진 것입니다.

결코 반복되지 않는 세상

펜로즈 타일링을 살펴보면, 이는 단순한 규칙을 따르는 단 두 가지 기본 타일 모양으로 구성됩니다. 하지만 타일을 무한히 이어 붙여도 패턴은 단순한 ABABABAB...의 나열로 변하지 않으며, 하나의 작은 모티프가 끝없이 복제되는 형태도 아닙니다. 대신 이 패턴은 진정한 반복 없이도 일정한 질서를 유지하는데, 바로 이 점이 펜로즈 타일링을 그토록 매력적으로 만듭니다.

직접 '반복'을 찾아볼 수도 있습니다. 화면을 확대하거나 축소하고, 혹은 시선을 옮기며 '이 부분을 전에 본 적이 있나?'라고 자문해 보는 것이죠. 비슷한 구간이나 심지어 똑같은 형태의 유한한 패턴을 발견할 수는 있겠지만, 끝없이 평행 이동시킬 수 있는 주기적 단위는 결코 찾을 수 없을 것입니다. 왜냐하면 이곳은 결코 반복되지 않는 세상이기 때문입니다.

어쩌면 이는 이 세상이 질서와 자유라는, 언뜻 모순되어 보이는 두 가지 특성을 모두 담고 있기 때문일 것입니다. 무작위적인 것은 아니어서 모든 타일이 규칙을 따르지만, 기계적으로 반복되거나 단순한 주기를 갖지도 않습니다. 패턴을 따르면서도 반복되지 않고, 대칭성을 지니면서도 평행 이동에 대한 주기성은 없으며, 단 두 종류의 타일만 사용하고도 무한히 복잡한 세상을 만들어냅니다.

두 개의 타일로 시작하기

처음에는 연(kite) 모양과 다트(dart) 모양의 타일, 즉 겉보기엔 평범해 보이는 두 가지 기하학적 형태의 타일만 있었습니다. 여기에 특정한 결합 규칙을 적용했습니다. 그렇게 첫 번째 타일에서 시작해 두 번째, 세 번째 타일로 계속해서 확장해 나갔습니다. 마침내 이 두 종류의 타일만으로 무한한 평면 전체를 빈틈없이 채울 수 있게 되었습니다.

하지만 고정된 반복 패턴을 찾으려 해도 결코 찾을 수 없을 것입니다. 왜냐하면 이 세계는 애초부터 반복 없이 영원히 앞으로 나아가도록 설계되었기 때문입니다. 이것이 바로 펜로즈 타일링(Penrose tiling)입니다.

계속해서 기하학의 세계를 탐험해 보세요

펜로즈 타일링(Penrose tiling)은 참으로 독특한 수학적 영역을 보여줍니다.

단순한 규칙이 복잡한 구조를 만들어내는 과정에 흥미를 느끼신다면, 다음의 예시들도 함께 살펴보세요. 단순한 선분이 지속적인 재귀 과정을 통해 무한히 복잡한 수학적 눈송이 모양으로 변해가는 코흐 눈송이(Koch snowflake), 직선이 단순한 생성 규칙에 따라 반복적으로 접히며 복잡한 프랙탈 구조를 형성하는 레비 C 곡선(Lévy C curve), 선이 거듭 접히면서 마침내 정교한 프랙탈 패턴을 이루는 드래곤 곡선(Dragon curve), 그리고 원과 원 사이의 빈 공간에서 점점 더 작은 원들이 생성되어 나가는 아폴로니오스 개스킷(Apollonian gasket) 등이 있습니다.

각각 서로 다른 개념을 다루고 있지만, 이들은 모두 하나의 공통된 메시지를 전달합니다. 바로 수학적 질서가 반드시 단순한 반복을 의미하지는 않는다는 것입니다. 때로는 일관된 규칙을 따르면서도 결코 똑같이 반복되지 않는 세상이야말로 가장 경이로운 모습을 보여줍니다.

또한 더 다양한 매력적인 수학적 도형을 둘러보거나 위키백과에서 펜로즈 타일링에 대해 더 자세히 읽어보실 수 있습니다.